Лекция 3 : Статистическа интерпретация на ентропията




ИмеЛекция 3 : Статистическа интерпретация на ентропията
страница1/3
Дата на преобразуване12.11.2012
Размер244.24 Kb.
ТипЛекция
източникhttp://svetlanda.com/wp-content/uploads/2012/06/Lecture_3_FEP.doc
  1   2   3
ЛЕКЦИЯ 3: Статистическа интерпретация на ентропията.

Ентропия и икономически процеси.

Цикли на Карно в икономиката.



  1. Статистическа интерпретация на ентропията.


I.1. Статистическа формула за ентропията


От предната лекция получихме следните изрази за промяната на ентропията и за извършената работа за различни термодинамични процеси.


Процес

Адиабатен

Изотермичен

Изохорен

Изобарен


Ентропия

S














Работа

A












Нека вземем формулатата за промяната на ентропията при изотермичен процес, която можем да представим както следва




Тъй като обемът има размерност не можем да представим промяната на ентропията като разлика от логаритни от обеми. За целта ще съобразим, че ако една частица има елементарен обем, то обемите на газа ще са цяло число такива елементарни обеми, т.е. Ve, V2 =v2 Ve и V1 = v1 Ve, където и са безразмерни числа. Тогава:



Т.е.



Което на свой ред означава,че за изотермичен процес




Сега да видим как стои въпроса с другите две формули за изобарен и изохорен процес. Тъй като , то . Нека сега вземем разликата между и , която намираме като





Т.е имаме подобен израз както и преди, само че промяната на етропията е пропорционална на логаритъма от отношението на две температури.

Какво ознчава това?

Сега се сещаме, че температурата е пропорционална на средната кинетична енергия на дадена частица. Нека предположим, че енергиите на частиците са кратни на някаква елементарна кинетична енергия Ee, т.е. Т2 t2Ee, Т1 t1Ee и следователно




Т.е.

,

което означава, че



В горната формула t е цяло число, което означава, колко пъти средната енергия на частицаите при дадена температура Т е по-голяма от елментарната енергия Ee.

Във всяка една от горните формули промяната на етнропията е пропорционална на някакъв логаритъм от някакво много голямо число или . Тези числа са много по-големи от броя на частиците N.

Както означават тези огромни числа и ?

Ако , например има смисъла на всички комбинации от два различн символа, в групи по N символа. Например при двоичния код двата символа са условно 0 и 1.

Ето няколко такива комбинации


N=1: комбинации: 1 или 0

N=2: комбинации: 0,0 | 0,1 | 1,0 | 1,1

N=3: комбинации: 0,0,0 | 0,0,1 | 0,1,0 | 1,0,0 | 0,1,1| 1,0,1| 1,1,0| 1,1,1

N=4: комбинации: и т.н. …..

Очевидно числата и означават брой комбинации. При това .

Сега да разгледаме по новому процеса на изотермично разширение.


По-долу са дадени три различни обема: V1 = 4 Ve, V2 = 8 Ve и V3 = 24 Ve и N = 4 четири различими частици. Ако на тези частици са предоставени v на брой клетки, броя на








S1 = k.5,545 S2 = k.8,318 S3 = k.12,712


За пример е дадена само по една от възможните комбинации, чийто брой е съответно изчислен, както е изчислена и колко пъти константата на Болцман е съответната стойност на ентропията. Т.е. разширявайки се изотермично на частиците на газа се отварят огромен брой нови възможни положения в пространството, които да заемат, което те правят в различни моменти от време.

На фигурата по-долу са даден 26 от възможните 256 комбинации на N = 4 различими частици във v = 4 различни клетки.




Сега да разгледаме и другата възможност, когато възможните състояния не са по обем, а по енергия. За разнообразие избираме три различими частици и три различни подслучая на различен брой възможни енергетични нива.










S1 = k.4,159 S2 = k.5,838 S3 = k.12,712


Очевидно, че колкото по-ниска е температурата, толкова по-малък брой възможни енергетични нива ще са достъпни за частиците. Ако имаме било изохорен, било изобарен процес при който тмепературата нараства, то съответно ще нарастват и броя на достъпните състояния (по енергия) и броя на възможните комбинации, което пък води до нарастване на ентропията.

Фигурата по-долу илюстрира само 15 от 64-те възможни комбинации на N = 3 разлимии частици в t = 4 енергетични нива.




От така получения израз за ентропията се вижда, че тя е пропорционална на логаритъма от броя възможни състояния, който е различен в зависимост от това дали разглеждаме възможности по пространство или по енергия.

Освен това в по-горните разглеждания считаме че частиците са различими. Ако частиците не са различими, какъвто е случая то тогава броят възможни достъпни състояния ще се дава с различна формула.

Нека с означим този брой различни състояния, който ще бъде

или

Тогава ентропията на една система в общия случай ще запишем като





Тази формула е най-общ статистически израз за ентропията.

И така, ако трябва да изкажем усета си за ентропия, то той би бил следното: когато усещаме, че в една икономическа система имаме повече възможности, то тази система се характеризира с по-голяма ентропия.

По-нататък в лекциите ще дадем различни примери за горното твърдение.

I.2. Малко комбинаторика


Тъй като пресмятането на ентропията се свежда до пресмятане на брой възможни комбинации, то е полезно да си припомним някои формули и ситуациите, които те описват.


I.2.1. Пермутации (размествания) на различими частици с повторение


Ако имаме n неща, измежду които да избираме N от тях, като редът има значение и може да има повторение на избора, то общия брой възможности са




N пъти

Този случай е в същност полученият по-горе резултат, където съотъетно v и t са броя кутийки (клетки), възможни състояния които избираме N на брой, като можем да повтаряме избора и подредбата има значение.


I.2.2. Пермутации (размествания) на различими частици без повторение


Ако имаме N различими частици, броят размествания (пермутации) се дава с израза



При това следва да се има пред вид, че при тези размествания не може една частица да фигурира повече от веднъж. За N = 4 различими частици имаме възможни размествания, наричани пермутации, които са дадени на фигурата по-долу.




Нека отбележим, че . Горе изброените 24 пермутации са само част от възможните състояния , които пресметнахме по-рано.


I.2.3. Избор на k от n без повторение с подредба


Ако имаме n обекта измежду които да избираме то общия брой пермутации е n! Ако сиаме да изберем само от k тях, останалите n-k могат да бътат избрани по (n-k)! пъти. Т.е. от общия брой n! възможни комбинации следва да намалим (n-k)! пъти, т.е.:



В този случай редът на появяване има значение. Т.е. комбинациите (1,2,3,4); (1,3,2,4,) и (4,1,2,3) са три различни комбинации, защото редът на появяванеима значение.


I.2.4. Избор на k от n без повторение без подредба. Биномни коефициенти


В този случай комбинациите (1,2,3,4); (1,3,2,4,) и (4,1,2,3) са един и зъщи избор, тъкй като няма значения как са избрани първите 4 числа. Това е случаят на избор в лотарията от типа 6 от 49, където няма значение как са подредени 6-тте печливши числа изтеглени измежду 49 възможни. Тъй като изтегляме k обекта измежду n, и тия k обекта могата да се появат по k! начина, то броят избори с подредба следва да се раздели на броя възможни подредби, т.е. на k!, и резултатът е



Коефициентите се наричат биномни коефициенти. Това са коефициенти в така нареченото биномно разпределение, при което имаме случаен избор между две независими и взаимно изключващи се събития от типа бял-черно, качествено-некачествено, ляво-дясно, които се случват с вероятности p и q = 1-p. Вероятността щото случайно да бъдат избрани k от n е




I.2.5. Избор на n1, n2nk от n без повторение и без подредба. Полиномни коефициенти


Биномните коефициенти могат да се запишат като



като n1= k и n2 = n - n1, т.е n2 + n1= n. В случая общия брой n обекти, измежду които може да се избира се подразделят на n1 и n2 , чиято сума е n. Ако общият брой n обекта се подразели не на 2 групи, а на k групи, всяка от които с по n1, n2 , … nk обекта, то

()

На тези мултиномни коефициенти това полиномно разпределение

където са съответните вероятности за k-та типа различни събития.


  1. Ентропията в икономиката. Примери за цикли на Карно.


При въвеждането на цикъла на Карно започнахме с примера с дилъра на валута, който както се оказа изпълнява цикъл на Карно.

Нека сега отново се върнем на този пример и да видим как излгежда този процес от гледна точка на ентропията.

В предишната лекция изведохме една важна формула, показваща на какво се равнява полезната работа, т.е получения в резултат на икономическа дейност по цикъла на Карно излишък от стойност, а именно:




Ние лесно определихме колко е T за цикъла, който осъществява дилърът на валута.

Как да пресметнем промяната на ентропията S?

Ще разгледаме няколко принципни случая.

  1   2   3

Свързани:

Лекция 3 : Статистическа интерпретация на ентропията iconКонспект по приложна статистика
Понятията статистическа съвкупност, статистическа подсъвкупност, статистическа единица
Лекция 3 : Статистическа интерпретация на ентропията iconИнформацията е връзката между материалните обекти и се проявява в изменение на техните състояния, а те от своя страна, чрез отражение, се предават от един на
Осредняването може да се извърши чрез зависимостта: При равно вероятни събития, ентропията има максимална стойност, H=Hmax, когато...
Лекция 3 : Статистическа интерпретация на ентропията iconКомпютърни методи за интерпретация на спектрална информация
Очевидно, идентификацията на изследваното съединение е главна цел на спектралната интерпретация и на процеса на разкриването на структурата....
Лекция 3 : Статистическа интерпретация на ентропията iconХіі. Психоанализа на културата
Но същевременно психоаналитичният метод на интерпретация се прилага с успех в различните области на хуманитаристиката. В тази лекция...
Лекция 3 : Статистическа интерпретация на ентропията iconОтчетна статистическа форма К
Отчетна статистическа форма к финансови данни по маршрутни средства се попълва от гд “Ръководство на въздушното движение”
Лекция 3 : Статистическа интерпретация на ентропията iconОтчетна статистическа форма L
Отчетна статистическа форма L данни за движение по трасета при използване на маршрутни средства се попълва от гд “Ръководство на...
Лекция 3 : Статистическа интерпретация на ентропията iconОтчетна статистическа форма J
Отчетна статистическа форма j финансови данни по летища се попълва от летищните администрации на международните летища
Лекция 3 : Статистическа интерпретация на ентропията iconЛекция IX лекция X лекция XI
Фрагменты публикуются по источнику: Чанышев А. Н. Курс лекций по древней философии: Учеб пособие для филос фак и отделений ун-тов....
Лекция 3 : Статистическа интерпретация на ентропията iconКонспект по „ статистика " за студенти бакалаври от спец. „СК"
Статистиката като наука и практика: същност на понятието „статистика”, еволюция на статистическите знания, статистически метод, теория...
Лекция 3 : Статистическа интерпретация на ентропията iconОтчетна статистическа форма А
Отчетна статистическа форма а отчет за превозите се попълва от авиационни търговски превозвачи, изпълняващи международни и/или вътрешни...
Поставете бутон на вашия сайт:
Документация


Базата данни е защитена от авторски права ©bgconv.com 2012
прилага по отношение на администрацията
Документация
Дом