Конспект за държавен изпит за завършване на образователно-квалификационната




ИмеКонспект за държавен изпит за завършване на образователно-квалификационната
Дата на преобразуване05.11.2012
Размер154.65 Kb.
ТипКонспект
източникhttp://www.fmi.uni-sofia.bg/drafts/M-I 07.doc


СОФИЙСКИ УНИВЕРСИТЕТ “СВ. КЛ. ОХРИДСКИ”

ФАКУЛТЕТ ПО МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА

КОНСПЕКТ

ЗА
ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ ЗА ЗАВЪРШВАНЕ НА

ОБРАЗОВАТЕЛНО-КВАЛИФИКАЦИОННАТА

СТЕПЕН “БАКАЛАВЪР”


СПЕЦИАЛНОСТ

“МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА”

Приет на Факултетен съвет на 07.05.2007 г.


СОФИЯ  2007

КОНСПЕКТ ЗА ДЪРЖАВЕН ИЗПИТ

ЗА СПЕЦИАЛНОСТ "МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА"


  1. Уравнения на права и равнина. Формули за разстояния и ъгли.

a) Уравнения на права. Полуравнини. Формули за разстояния и ъгли.

б) Уравнения на равнина. Полупространства. Формули за разстояния и ъгли.

  1. Канонични уравнения на криви от втора степен. Основни свойства на кривите от втора степен.

a) Окръжност. Канонично уравнение на парабола. Фокални свойства.

б) Канонични уравнения на елипса и хипербола. Фокални свойства.

  1. Линейни пространства. Линейна зависимост и независимост. Базис и размерност.

  2. Ранг на матрица. Ранг на система вектори. Теорема за ранга. Системи линейни уравнения.

  3. Полиноми на една променлива. Основна теорема на алгебрата (без доказателство). Зависимост между корени и коефициенти.

  4. Полиноми на повече променливи. Основна теорема за симетричните полиноми.

  5. Основни теореми за непрекъснати функции в краен и затворен интервал.

  6. Редици и редове от реални числа. Абсолютно сходящи редове.

  7. Теореми за средните стойности (Рол, Лагранж и Коши). Формула на Тейлър.

  8. Определен интеграл. Дефиниция и свойства. Интегруемост на непрекъснатите функции. Теорема на Нютон - Лайбниц.

  9. Линейни обикновени диференциални уравнения. Уравнения с постоянни коефициенти.

  10. Дискретни разпределения:

a) Равномерно разпределение.

б) Биномно разпределение.

в) Геометрично разпределение.

г) Поасоново разпределение.

д) Хипергеометрично разпределение.

Задачи, в които възникват. Моменти - математическо очакване и дисперсия.

  1. Теореми на Ойлер - Ферма и Уилсън.

  2. Забележителни неравенства.

  3. Геометрични преобразувания. Еднаквости и подобности.

  4. Лице на многоъгълник

  5. Теореми на Менелай и Чева. Забележителни точки в триъгълника.

  6. Многостени и ротационни тела.

  7. Обектно ориентирано програмиране (Java). Клас, интерфейс, обект. Наследяване и полиморфизъм.

  8. Структури от данни. Стек, опашка, списък, дърво, граф. Основни операции върху тях. Реализация.

  9. Алгоритми за сортиране: бързо сортиране, сортиране чрез сливане.

ЛИТЕРАТУРА





  1. Банков К., Т. Витанов. Геометрия. Анубис, София, 2003.

  2. Въндев, Д., Записки по теория на вероятностите. Електронно издание:
    http://www.fmi.uni-sofia.bg/fmi/statist/personal/vandev/lectures/prob/prob.html

  3. Гавраилов, О., К. Гъров, Информатика - начален курс за средното общообразователно училище. АСИО, София, 1994.

  4. Генчев, Т., Обикновени диференциални уравнения, III изд. Университетско издателство “Св. Кл. Охридски”, София, 1999.

  5. Димитров, Б., Н. Янев, Вероятности и статистика. Университетско издателство “Св. Кл. Охридски”, София, 1990.

  6. Додунеков, Ст., Л. Давидов, Елементарна алгебра и елементарни функции. Учебни програми - II ч.: задължителна и профилирана подготовка. МОН, София, 2000.

  7. Илин, В., В. Садовничи, Бл. Сендов, Математически анализ, ч. I. Наука и изкуство, София, 1984.

  8. Илин, В., В. Садовничи, Бл. Сендов, Математически анализ, ч. II. Наука и изкуство, София, 1989.

  9. Лозанов Ч., Г. Енева, Синтетична геометрия. Университетско издателство “Св. Кл. Охридски”, София, 1994.

  10. Новоселов, С. И., Специальный курс элементарной алгебры. Высшая школа, Москва, 1965.

  11. Обрешков, Н., Теория на числата. Университетско издателство “Св. Кл. Охридски”, София, 1996.

  12. Паскалев, Г., Работата в кръжока по математика, I ч. Народна просвета, София, 1984.

  13. Паскалев, Г., Ив. Чобанов, Забележителни точки в триъгълника. Народна просвета, София, 1985.

  14. Перепьолкин, Д., Курс по елементарна геометрия, I ч. Наука и изкуство, София, 1965.

  15. Перепьолкин, Д., Курс по елементарна геометрия, II ч. Наука и изкуство, София, 1965.

  16. Програмиране с Java 2 (под ред. на Ст. Стефанов). Софтпрес, София, 2001.

  17. Сидеров, Пл., Записки по алгебра: линейна алгебра. Веди, София, 2001.

  18. Сидеров, Пл., К. Чакърян, Записки по алгебра: групи, пръстени, полиноми. Веди, София, 2002.

  19. Станилов, Гр., Аналитична геометрия. Софтех, София, 1998.

  20. Тодорова, М., Програмиране на C++, ч. II. Сиела, София, 2002.

  21. Уирт, Н., Алгоритми + структури от данни = програми. Техника, София, 1980 (има и следващи стереотипни издания).

  22. Eckel, B., Thinking in Java. Prentice Hall PTR, 2000. Има български превод: Да мислим на Java. Софтпрес, София, 2001. Оригиналът на книгата (първо и второ изд.) в HTML или Word97 формат може да се намери на http://www.bruceeckel.com

  23. http://www.fmi.hit.bg - Материали за Java в електронен вид.

  24. http://www.fmi.uni-sofia.bg/fmi/diff_equ/exams.html


АНОТАЦИИ НА ВЪПРОСИТЕ


1. Уравнения на права и равнина. Формули за разстояния и ъгли.

Векторни и параметрични (скаларни) уравнения на права и равнина. Общо уравнение на права в равнината. Декартово уравнение. Взаимно положение на две прави. Нормално уравнение на права. Разстояние от точка до права. Ъгъл между прави.

Общо уравнение на равнина. Взаимно положение на две равнини. Нормално уравнение на равнина. Разстояние от точка до равнина.


2. Канонични уравнения на криви от втора степен. Основни свойства на кривите от втора степен. Следствия.

Уравнение на окръжност. Канонични уравнения на елипса, хипербола и парабола. Фокални свойства на елипса, хипербола и парабола.


3. Линейни пространства. Линейна зависимост и независимост. Базис и размерност.

Освен гореизброеното въпросът включва основна лема, съществуване на базис на крайномерно линейно пространство и твърдението, че всеки два базиса имат равен брой вектори.

Литература: [17].


4. Ранг на матрица. Ранг на система вектори. Теорема за ранга. Системи линейни уравнения.

Освен гореизброеното въпросът включва и теоремата за съвместимост на произволна система линейни уравнения (теорема на Руше).

Примерни задачи. Намиране на ранг на матрица/система вектори. Решаване на система линейни уравнения. Намиране на фундаментална система решения. Намиране на базис на сума и сечение на подпространства на дадено линейно пространство.

Литература: [17].


5. Полиноми на една променлива. Основна теорема на алгебрата (без доказателство). Зависимост между корени и коефициенти.

Полето на комплексните числа е алгебрически затворено; всеки полином с комплексни коефициенти се разлага в произведение на линейни множители; всеки полином с реални коефициенти се разлага в произведение на линейни и квадратни множители; формули на Виет.

Задача. Прилагане на формулите на Виет за полином с числови коефициенти.

Литература: [18].


6. Полиноми на повече променливи. Основна теорема за симетричните полиноми.

Освен гореизброеното въпросът включва и лексикографска наредба, лема за старшия едночлен.

Задача. Изразяване на симетричен полином чрез елементарните симетрични полиноми.

Литература: [18].


7. Основни теореми за непрекъснати функции в краен и затворен интервал.

Като се използва (без доказателство!) теоремата на Болцано - Вайерщрас, според която всяка ограничена редица има сходяща подредица, да се докажат следните теореми, формулирани общо за по-кратко.

Нека е непрекъсната функция в крайния и затворен интервал [a, b]. Тогава:

а) е ограничена в [a, b] (Вайерщрас);

б) приема своята минимална и максимална стойност, т.е. съществуват
u, v  [a, b] такива, че

(Вайерщрас);

в) ако , то съществува c  (a, b) такова, че

г) за всяко число където m и са от б), съществува такова, че (Коши);

д) е равномерно непрекъсната (Кантор).

Примерни задачи


1. Нека

Да се докаже, че:

а) не е неограничена в [0, 1];

б) не е непрекъсната в [0, 1];

в) не е равномерно непрекъсната в (0, 1].

2. Нека . Да се докаже, че:

а) е ограничена функция в [1, );

б) е равномерно непрекъсната в [1, ), като използвате теоремата за средните стойности;

в) е равномерно непрекъсната в [0, 1], като използвате, че всяка непрекъсната функция в краен затворен интервал е равномерно непрекъсната;

г) е равномерно непрекъсната в [0, ).

3. Нека . Да се докаже, че уравнението има поне един положителен корен.

8. Редици и редове от реални числа. Абсолютно сходящи редове.

Дефиниция на граница на числова редица. Доказателство на следните свойства на сходящите редици:

; ;

, когато ; , ако за всяко n.

Дефиниции на понятията сходящ и абсолютно сходящ ред. Като се използва твърдението, че всяка монотонно растяща и ограничена отгоре редица е сходяща, да се докаже, че ако частичните суми на един ред с неотрицателни членове са ограничени, то редът е сходящ. Оттук да се изведе принципът за сравнение на редове с неотрицателни членове: Ако и редът  е сходящ, то редът  е също сходящ.

Да се докаже, че всеки абсолютно сходящ ред е сходящ. Това може да бъде направено по два начина:

Първи начин. Формулира се принципът на Коши за сходимост на редици и се прилага към редицата от частичните суми на дадения ред.

Втори начин. За реда с общ член се разглеждат редовете с общи членове

, (съответно положителната и отрицателната част на реда ). Тогава , . Следователно по принципа за сравняване на редове от сходимостта на реда  следва сходимостта на редовете  и . Тъй като , то оттук следва сходимостта на реда .


9. Теореми за средните стойности (Рол, Лагранж и Коши). Формула на Тейлър.

Необходимо е да се докажат следните теореми, формулирани общо за по-кратко.

Нека е непрекъсната в затворения интервал [a, b] и притежава производна поне в отворения интервал (a, b). Да се докаже, че:

а) ако , то съществува c  (a, b) такова, че (Рол);

б) съществува c  (a, b), така че (Лагранж);

в) ако g е непрекъсната в затворения интервал [a, b] и притежава производна поне в отворения интервал (a, b), g'(x)  0, x  (a, b), то съществува c  (a, b), така че

(Коши).

За доказателството на теоремата на Рол (а)) да се използва (без доказателство!) теоремата на Вайерщрас, според която всяка непрекъсната функция в краен и затворен интервал достига своя максимум и минимум.

Необходимо е още да се изведе формулата на Тейлър с остатъчен член във формата на Лагранж и Коши.

Примерни задачи. Нека където е произволно фиксирано реално число:

а) да се пресметне

б) като се използва теоремата на Рол, да се докаже, че уравнението има поне един корен в интервала (0, 1).


10. Определен интеграл. Дефиниция и свойства. Интегруемост на непрекъснатите функции. Теорема на Нютон - Лайбниц.

Да се дефинират последователно: разбиване на интервал, диаметър на разбиване, риманова сума и риманов интеграл. Да се покаже, че всяка интегруема по Риман функция е ограничена. Да се дефинират големи и малки суми на Дарбу. Да се установи, че при добавяне на нови точки в разбиването на интервала големите суми на Дарбу не нарастват, а малките не намаляват (желателно е да се направи чертеж).

Да се докаже, че дадена функция е интегруема по Риман тогава и само тогава, когато за всяко  > 0 съществуват голяма сума на Дарбу S и малка сума на Дарбу s такива, че S – s < . Като се използва тази теорема и теоремата на Кантор, според която всяка непрекъсната функция в краен и затворен интервал е равномерно непрекъсната, да се докаже, че всяка непрекъсната функция в краен и затворен интервал е интегруема по Риман. Да се изброят (без доказателство) основните свойства на Римановия интеграл. Като се приложи свойството за интегриране на неравенства и теоремата, че всяка непрекъсната функция приема всички стойности между максимума и минимума си, да се докаже, че ако е непрекъсната в [a, b], то съществува c  [a, b], така че

EMBED Equation.3

Като се използва този факт, да се докаже теоремата на Нютон - Лайбниц, т.е. че ако е непрекъсната в [a, b], то за всяко x  [a, b]



и да се покаже как тя се използва за изчисляване на определен интеграл.

Примерни задачи. Смяна на променливите и интегриране по части; интегриране на рационални функции; интеграли от вида



субституции за интегриране на рационални функции от sin x и cos x; субституции на Ойлер.


11. Линейни обикновени диференциални уравнения. Уравнения с постоянни коефициенти.

Разглежда се диференциалното уравнение от n-ти ред



където aj(t) са непрекъснати функции. Формулира се (без доказателство) теорема за съществуване и единственост на решението на задачата на Коши. Дава се критерий за линейна независимост на система от n решения на хомогенното уравнение чрез детерминантата на Вронски. Дефинира се понятието фундаментална система от решения и се доказва, че решенията на хомогенното уравнение (т.е. ) образуват n -мерно линейно пространство. Описва се структурата на решенията на нехомогенното уравнение.

Формулира се алгоритъм за намиране на общото решение на уравнението с постоянни коефициенти


Примерни задачи


  1. Линейни ДУ с променливи коефициенти:

  1. Да се намери общото решение на уравнението, като се намери негово частно решение във във вида или

  2. а) >1;

б) >0.

  1. Линейни ДУ с постоянни коефициенти. Уравнения на Ойлер:

    1. Да се намерят реалните решения на уравнението:

а)

б) y” + 4y = 2 tg x,

в) >0.

    1. Да се реши задачата на Коши:

а)

б) + +

    1. Да се реши уравнението на Ойлер:

а) =

б) + + >0.

    1. Да се покаже, че уравнението + има единствено решение, ограничено в . Да се намери това решение.

Литература: [4], [24].


12. Дискретни разпределения:

  1. Равномерно разпределение.

  2. Биномно разпределение.

  3. Геометрично разпределение.

  4. Поасоново разпределение.

  5. Хипергеометрично разпределение.

Задачи, в които възникват. Моменти - математическо очакване и дисперсия.

Дефиниция на (дискретно и) целочислено разпределение на случайна величина. Свойства на вероятностите (неотрицателност и нормираност).

За всяко от разпределенията се посочва пример (задача), при който то възниква, например:

  1. Равномерно разпределение - хвърляне на правилен зар;

  2. Биномно и геометрично разпределение - хвърляне на монета;

  3. Поасоново разпределение - брой отчетени радиоактивни частици за единица време;

  4. Хипергеометрично разпределение - статистически качествен контрол.

Пресмятат се математическото очакване и дисперсията на всяко от тези разпределения.

При пресмятанията може да се използва пораждаща моментите функция, но тя трябва да се определи за всяко целочислено разпределение и да се изведат основните й свойства.

Литература: [5], глави 2.3 (стр. 54-56), 3.2 (стр. 71-74), 6.1 (примери 1-4); [2], тема: Дискретни разпределения.


13. Теореми на Ойлер - Ферма и Уилсън.

Формулировка и доказателство на теоремата на Ойлер. Извеждане от нея на теоремата на Ферма. Формулировка и доказателство на теоремата на Уилсън.

Прилагане на тези теореми и свойствата на числовите сравнения към задачи от делимост на цели числа.


14. Забележителни неравенства.

Неравенство на Коши - Буняковски. Неравенство на Коши между средно аритметично и средно геометрично. Изисква се поне едно доказателство на всяко от неравенствата, както и да се дадат някои приложения на неравенствата при решаване на екстремални задачи.

Примерна задача. Да се намери радиусът на цилиндър с максимален обем, вписан в сфера с даден радиус.

Литература: [10].


15. Геометрични трансформации. Еднаквости и подобности.

Изисква се само теорията за еднаквостите, а именно: определение за еднаквост в равнината; аксиома за еднаквостите; теорема за задаване на еднаквостите; род на еднаквост; признаци за еднакви триъгълници; основни свойства на осева симетрия, въртене, централна симетрия, успоредно пренасяне и плъзгаща симетрия; теореми на Шал за класификация на еднаквостите.

Прилагане на еднаквости и подобности при решаване на задачи.

Литература: [1], [14], [15].


16. Лице на многоъгълник.

Определение на лице на многоъгълник, формулировка на теоремите за съществуване и единственост, доказателство на теоремата за единственост.

Решаване на задачи за лице на фигури.

Литература: [1] и учебниците по математика за средното училище.


17. Теореми на Менелай и Чева. Забележителни точки в триъгълника.

Доказателства на теоремите на Менелай и Чева. Използване на теоремата на Чева за определяне на центъра на вписаната окръжност, медицентъра, ортоцентъра, точката на Жергон и точката на Нагел.

Прилагане на теоремите на Менелай и Чева при решаване на задачи.

Литература: [1], [12], [13].


18. Многостени и ротационни тела.

На изпита се очаква само студентите да могат да решават задачи. Темата няма да се дава на теоретичната част на изпита.

Литература: [1] и учебниците по математика за средното училище.


19. Обектно ориентирано програмиране (Java). Клас, интерфейс, обект. Наследяване и полиморфизъм.

  1. Клас. Дефиниране на клас. Обект, конструктори, подразбиращ се конструктор, ползване на this и super, използване и смисъл на спецификаторите public, private, static за полета и методи на класа. Динамични и статични полета и методи. Масиви от обекти.

  2. Наследяване. Предефиниране и додефиниране на компоненти (полета и методи). Достъп до наследени и предефинирани компоненти.

  3. Полиморфизъм. Абстрактен клас. Дефиниране и реализация на интерфейс. Upcasting и downcasting.

Забележка. На изпита се очаква обясненията да бъдат подкрепени с подходящи прости примери.

Литература: [22], [16], [23].


20. Структури от данни. Стек, опашка, списък, дърво, граф. Основни операции върху тях. Реализация.

  1. Структура от данни двусвързан списък. Спецификация чрез интерфейс - основни методи. Клас, реализиращ двусвързан списък.

  2. Структура от данни стек. Спецификация чрез интерфейс - основни методи. Клас, реализиращ стек чрез списък.

  3. Структура от данни опашка. Спецификация чрез интерфейс - основни методи. Клас, реализиращ опашка чрез двусвързан списък.

  4. Структура от данни двоично наредено дърво. Спецификация чрез интерфейс - основни методи. Клас, реализиращ двоично наредено дърво.

  5. Структура от данни граф. Клас, реализиращ насочен граф: методи за добавяне/премахване на възел и дъга. Намиране на най-кратък път между два възела: а)по брой дъги; б) като се отчита дължината на всяка дъга.

Забележка. За изпита ще бъдат избрани две от изброените структури.

Литература: [21], [23], [20].


21. Алгоритми за сортиране: бързо сортиране, сортиране чрез сливане.

Представят се двата метода за сортиране на едномерни масиви от обекти с подходящи коментари. Алгоритмите да се реализират като методи на езика Java със следната спецификация:


public static void quickSort(Object[] a)

pubic static Object[] mergeSort(Object[] a, Object[] b)


quicksort сортира подадения фактически параметър. mergeSort очаква двата фактически параметъра да са сортирани, като не ги променя и връща като резултат нов масив. Реализацията да предполага, че класът на елементите на масивите, които са фактически параметри, реализира интерфейса Comparable. Да се коментира защо това е необходимо.

Литература: [21], [20].


Свързани:

Конспект за държавен изпит за завършване на образователно-квалификационната iconКонспект за държавен изпит за завършване на образователно квалификационната
Симетрични оператори в крайномерни евклидови пространства. Основни свойства. Теорема за диагонализация
Конспект за държавен изпит за завършване на образователно-квалификационната iconКонспект за държавен изпит за завършване на образователно квалификационната
Уравнения на права и равнина. Формули за разстояния и ъгли. Криви от втора степен
Конспект за държавен изпит за завършване на образователно-квалификационната iconКонспект за държавен изпит за завършване на образователно-квалификационната
Нойман. Формати на данните. Вътрешна структура на централен процесор – блокове и конвейерна обработка. Инструкции на централен процесор...
Конспект за държавен изпит за завършване на образователно-квалификационната iconКонспект за държавен изпит по „управление на здравните грижи" на образователно -квалификационна степен „бакалавър" учебна 2010/2011 г
За държавен изпит по „управление на здравните грижи” на образователно -квалификационна степен „бакалавър
Конспект за държавен изпит за завършване на образователно-квалификационната iconКонспект за държавен изпит по български език и литература
...
Конспект за държавен изпит за завършване на образователно-квалификационната iconКлимент Охридски" за образователно-квалификационната степен "
Св. Климент Охридски” за образователно-квалификационната степен “магистър” през учебната 2004/2005 година
Конспект за държавен изпит за завършване на образователно-квалификационната iconКонспект за държавен изпит по български език и литература
Ен държавен изпит за бакалавърска степен по български език и литература полагат студентите от всички филологически специалности....
Конспект за държавен изпит за завършване на образователно-квалификационната iconКонспект за държавен изпит за специалност по фармакология теоретичеН изпит (I ден)
Предмет. Задачи и клонове на фармакологията. Връзка с други науки. Историческо развитие на фармакологията като наука и учебна
Конспект за държавен изпит за завършване на образователно-квалификационната iconКонспект за държавен изпит по акушерство и гинекология за студенти медици VI курс

Конспект за държавен изпит за завършване на образователно-квалификационната iconПрограма за държавен изпит за бакалаварска степен
Писменият и устният държавен изпит са задължителни за специалността Немска филология и се полагат независимо един от друг
Поставете бутон на вашия сайт:
Документация


Базата данни е защитена от авторски права ©bgconv.com 2012
прилага по отношение на администрацията
Документация
Дом