7 3 Теорема за проекцията на главната сила върху произволна ос и главния момент за произволна точка на равновесна равнинна група сили Теорема 2




Име7 3 Теорема за проекцията на главната сила върху произволна ос и главния момент за произволна точка на равновесна равнинна група сили Теорема 2
Дата на преобразуване28.10.2012
Размер92.67 Kb.
ТипДокументация
източникhttp://www.uacg.bg/filebank/acadstaff/userfiles/study_bg_290_Chapter_72.doc
7.2 Покой на тяло, натоварено с равнинна група сили


Много често телата са натоварени с група сили, разположени в една равнина (фиг. 7.14.а).

Тогава най-удобно е да се разглежда състоянието не на самото тяло, а само на диска, който се получава от пресичането на равнината на групата сили с тялото (фиг. 7.14.б). Така вместо да се работи с пространствената координатна система и съответните 6 условия за равновесие, се ограничаваме в равнината с достатъчните 3 условия за равновесие.


7.2.1 Кинематично състояние на диска

Както тяло в пространството, така и в равнината диска може да е във всяко едно от китеманичните състояния, формулирани изобщо за материален обект.


На фиг. 7.15 са дадени съответно свободен диск, подвижен несвободен диск, геометрично неизменяема система от диск и неправилно разположени връзки, неподвижен диск и накрая неподвижен диск с допълнително наложени връзки. В зависимост от наложените върху тялото връзки, то може да бъде във всяко от кинематичните състояния, описани в гл. 5 за материалнен обекти.

На фиг. 7.16 са показани различни възможности за подпирането на диск.





7.2.2 Условия за равновесие на равнинна група сили

Основната задача при изследване покоя на диск е да се определят посоките и големините на реакциите на опорните връзки.


На диска, който е в покой (фиг. 7.17.а), съответства равновесната група (фиг.7.17.б), в която към активните сили са добавени и реакциите на премахнатите връзки

Символичния запис на на равновесието на групата сили е

(7.18)

Векторните условия за равновесие на равнинната група сили са същите като в параграф 7.1.

(7.19)

Или съкратено записани

(7.20)

Скаларните условия за равновесие на равнинната група сили са проекциите на векторните условия върху осите на равнинната декартова координатна система

(7.21)

В тези уравнения участват активните сили и трите неизвестни реакции на връзките. Решението система (7.21) дава посоките и големините на търсените реакции.

7.2.3 Теорема за проекцията на главната сила върху произволна ос и главния момент за произволна точка на равновесна равнинна група сили

Теорема 7.2 Ако една равнинна група сили е в равновесие, то сумата от проекциите на всички сили върху произволна ос и сумата от моментите на силите за произволна точка (фиг. 7.18) са също равни на нула.

Теоремата може да се докаже аналогично на теорема 7.1, която се отнасяше за равновесието на пространствена група сили.

(7.22)

Теоремата позволява вместо стандартните декартови проекционни уравнения да се съставят уравнения за произволна ос и вместо за началото на координатната система моментови уравнения да се съставят за произволна точка.


7.2.4 Избор на подходящи условия за равновесие на равнинна група сили

При избора на проекционните или моментовите условия за равновесие целесъобразно е в тях да участват по възможност по-малко неизвестни. Най-добре е условията за равновесие да са независими, т. е. в тях да участва по една реакция.

Независими условия могат да се съставят ако се спазват следните правила (фиг. 7.19). Когато се търси една реакция се съставя моментово улавнение за точката, в която се пресичат директрисите на другите две реакции. Ако директрисите са успоредни (както в случая с директрисите на , и , се съставя проекционно условие за ос, перпендикулярна на тези две директриси.

Така за реакциите от фиг. 7.6 може да се състави следната система уравнения.

(7.23)

Както при всяка задача за търсене на опорните реакции, така и тук се прави проверка на получените резултати за посоката и големината на реакциите. Подходящо проверовъчно уравнение е проекционно, в което да участват и трите намерени реакции.

(7.24)

Във формули (7.23) са записани едно проекционно и две моментови уравнения. В зависимост от броя на проекционните и броя на моментовите уравнуня могат да се формират 3 комбинации от равновесни условия.


1 комбинация – 2 проекционни и 1 моментово.

(7.25)

Както при комбинациите при изследване равновесието на пространствена група сили (глава 7.1), така и в равнината следва да се спазват някои ограничения при избора на осите и точките. За тази първа комбинация ограничението е двете проекционни оси да не са успоредни (фиг. 7.20).

При такъв неправилен избор е възможно трите условия да са изпълнени за група сили, която не е в равновесие. Такъв е примерът с равнинна система сили, която се редуцира до равнодействаща, перпендикулярна на двете оси и минаваща през точка А.




2 комбинация – 1 проекционно и 2 моментови.

(7.26)

Ограничението в този случай е оста s да не е перпендикулярна на правата AB (фиг.7.21). При такъв избор на оста и точките е възможно равнодействащата на равнинната група сили да минава по правата AB, при което и трите уравнения (7.26) ще са изпълнени, а групата сили не е в равновесие.




3 комбинация – 3 моментови.

(7.27)

Ограничението е трите точки да не лежат на една права (фиг.7.22). При равнодействаща по правата, уравнения (7.27) ще са изпълнени, но групата сили няма да бъде в равновесие.

Ограничението тук е шестте оси да не се пресичат в две точкипресичат в две точки (фиг. 7.10).


7.1.5 Общ запис на ограниченията при избора на осите и точките за съставяне условия за равновесие на равнинна група сили

Ако се редуцира група сили за точка О в общия случай се получава динама, съставена от главна сила и главен момент за т. O (фиг.7.23).

Както е известно от първата част на статиката

(7.28)

За равновесна равнинна система сили

(7.29)

Всяка от комбинациите от условия за равновесие може да се запише чрез няколко уравнения от вида (7.29). Например 2 комбинация след кратко преобразуване ще изглежда по следния начин



За да има системата единствено нулево решение по отношение на Rx, Ry, MA e необходимо детерминантата, съставена от коефициентите пред тях да е различна от 0.

Или общия запис на ограниченията при избора на проекционните оси и моментовите точки за втора комбинация изглежда така

(7.30)

7.1.6 План на работа при изследване покоя на диск (тяло, натоварено с равнинна група сили)

Последователноста на решение на задачата за покой на дис е подобна на тази от параграф 7.1 и е дадена в таблица 7.2


Таблица 7.2

1.

Изобразяват се диска, силите приложени върху него и опорните устройства.





2.

Наклонените сили се разлагат по осите x и y, а разпределените сили и моменти се заменят с техните равнодействащи.





3.

Прилага се принципа на освобождаването като се премахва връзката (връзките) и се заменят със съответните реакции.





4.

Съставя се подходяща комбинация условия за равновесие за получената нова равнинна група сили и реакции.



5.

Решава се получената система от три уравнения с три неизвестни, (при подходящ избор на проекционните оси и моментовите точки се решават три независими уравнения с по едно неизвестно)



6.

Прави се проверка на получените резултати. (Най-често проверката се прави с проекционни уравнения.)



7.2.7 Частни случаи на покой на диск





7.2.7.1 Покой на диск с една неподвижна точка

Този случай съответства ня покой ня тяло с неподвижна точка, а също и на покой на тяло с неподвижна ос от предния параграф.

На фиг. 7.24.а е показан такъв диск с 1 неподвижна точка, натоварен с равнинна група сили . Диска има една степен на свобода и от гледна точка на кинематиката извършва ротационно движение.

На следващата фиг. 7.24.б е показан освободения диск, натоварен с новата равнинна група сили . Ако диска от фиг. 7.24.а е в покой, то последната група сили е в равновесие.

Условията за равновесие на тази група сили са две проекционни и едно моментово.

(7.31)

От проекционните 2 уравнения се намират двете неизвестни реакции. Моментовото трябва да е тъждествено равно на нула, което обикновено се проверява дали е така.



7.2.7.2 Покой на диск, подпрян с две опори с успоредни директриси (фиг. 7.25)

Тъй като преобладаващата част от товарите в строителството са вертикални, много често дисковмете се подпират само по направление на силите. Такъв случай е показан на фиг. 7.25.а. Зя групата сили от фиг. 7.25.б условията за равновесие са две моментови и едно проекционно.

(7.32)

От моментовите уравнения се определят неизвестните две реакции, а проекционното трябва да бъде равно на нула. Последното условие може и да не се проверява при така разположените сили.


7.2.8 Основни типове дискове

Основните типове дискове в зависимост от подпирането са три.





7.2.8.1 Запъната греда (конзола)

Когато подпирането на една греда е чрез равнинно запъване (фиг. 7.26) гредата се нарича конзола. Най-подходящите условия за равновесие са тези от първа комбинация, допълнени с едно или повече уравнения за проверка.

(7.33)

В последните уравнения вместо е използвано , а вместо - .


7.2.8.2 Греда на две опори (проста греда)

В механиката под проста греда (фиг. 7.27) се разбира обикновено греда, подпряна на една неподвижна и една подвижна опора. Последната може да е заменена с прътова опора. Най-подходящите условия за равновесие са познатите от втора коминация две проекционни и едно моментово уравнения плюс уравнение за проверка.


(7.34)



7.2.8.2 Греда на три опори (фиг. 7.28)

Третата комбинация условия за равновесие (3 моментови уравнения) са независимите уравнения. Те се допълват с две проекционни уравнения за проверка.

(7.35)


7.2.9 Графично определяне на опорните реакции

В Теоретичната механика са известни два основни метода за определяне реакциите на връзките.


7.2.9.1 Задача на Кулман


Задачата на Кулман се основава на една от основните теареми на Статиката – правилото за трите сили. Като такива при графичното определяне на опорните реакции се приемат равнодействащата на активните сили, едната реакция и равнодействащата на другите две реакции.

На фиг. 7.29 са дадени Плана на положението и Плана на силите при едно графично решение. По познатия начин от глава 3 на раздел Статика се намира равнодействащата на активните сили . Пресичането на равнодействащата и директрисите на реакцията е в точка К. Другите две реакции са пресечени в т. L. Общата им реакция трябва да минава през пресечната точка L. Съгласно правилото на трите сили тя трябва да минава и през т. K. Така се получава директрисата на общата реакция KL, която се нарича Кулманова права.

В Плана на силите се прекарва през началото и края на равнодействащата прави успоредни на реакцията (права KL) и на реакцията . След това се нанасят векторите и така че силовият многоъгълник да е затворен.

Най-накрая се решава задачата за разлагане на сила като през краищата на се прекарват прави успоредни на и . Последните се изобразяват така, че тяхната векторна сума да е равна на .

След намирането на посоките на реакциите, по приетия мащаб се отчитат големините им.


7.2.9.2 Основна задача на графостатиката

Основната задача на графостатиката е подобна на задачата на Кулман, като определянето на опорните реакции става без намиране на равнодействащата на активните сили. За сметка на това се ползва верижния многоъгълник от Плана на положението (фиг. 7.30.а).


След построяване на силовия многоъгълник на активните сили (фиг. 7.30.б), се избира полюс и се свързва полюса с началото и края на всяка сила (както при графично определяне на равнодействащата от глава 3).

След това се построява верижния многоъгълник в Плана на положението (фиг. 7.30.а) като се започва от общата точка на директрисите на реакциите и . След построяване на последния лъч (в случая 3’) се прекарва затваряща права от пресечната точка на този лъч с реакцията до общата приложна точка на и (лъч 4’). По този начин се затваря и верижния многоъгълник което е графичното условие за равновесие на равнинна група сили. Затварящата права се премества в Плана на силите през полюса (права 4). От края на последната сила на силовия многоъгълник се прекарва права успоредна на реакцията . Пресечната точка на тази права с права 4 е края на реакцията . Реакцията пък е от тази точка до началото на силовия многоъгълник. След това както при задачата на Кулман се намират реакциите и и се отчитат големините им и големината на .

Свързани:

7 3 Теорема за проекцията на главната сила върху произволна ос и главния момент за произволна точка на равновесна равнинна група сили Теорема 2 icon6 3 Теорема за сумата от проекциите на равнинна равновесна група съначални сили върху произволна ос
На фиг. 9 е дадена точка в пространството натоварена със съначална система сили, разположени в една равнина – равнината π. Директрисите...
7 3 Теорема за проекцията на главната сила върху произволна ос и главния момент за произволна точка на равновесна равнинна група сили Теорема 2 iconНека имаме едно тяло гредови тип с произволна ос. То е натоварено с пространствена система сили от на брой сили и е подпряно по такъв начин, че можем да
Премахваме опорите и товарим тялото освен с външните сили и с реакциите, така то е натоварено с една произволна равновесна система...
7 3 Теорема за проекцията на главната сила върху произволна ос и главния момент за произволна точка на равновесна равнинна група сили Теорема 2 iconКонспект по
Момент на сила спрямо точка и ос. Понятие за двоица сили. Основна теорема на статиката
7 3 Теорема за проекцията на главната сила върху произволна ос и главния момент за произволна точка на равновесна равнинна група сили Теорема 2 icon7. 1 Покой на тяло, натоварено с пространствена група сили
...
7 3 Теорема за проекцията на главната сила върху произволна ос и главния момент за произволна точка на равновесна равнинна група сили Теорема 2 iconУч с-ца
...
7 3 Теорема за проекцията на главната сила върху произволна ос и главния момент за произволна точка на равновесна равнинна група сили Теорема 2 iconОсновна теорема на алгебрата(Теорема на Даламбер)
Следователно достатъчно е да докажем, че h(X) има реален корен. Тъй-като ст.(h(X)) е нечетна имаме
7 3 Теорема за проекцията на главната сила върху произволна ос и главния момент за произволна точка на равновесна равнинна група сили Теорема 2 icon4. 5 Активност: Дефиниции и теорема за монотонност на функциите
Накрая, завършваме активността с едно приложение на тази теорема при изследването на функция за монотонност и екстремуми
7 3 Теорема за проекцията на главната сила върху произволна ос и главния момент за произволна точка на равновесна равнинна група сили Теорема 2 iconПокой на точка, натоварена със съначална група сили Гл. 1 Покой на точка, натоварена с пространствена съначална група сили
Затова по нататък се говори само за равновесие на точка, натоварена със съначална група сили, като се изобразява само геометрична...
7 3 Теорема за проекцията на главната сила върху произволна ос и главния момент за произволна точка на равновесна равнинна група сили Теорема 2 iconИзкривяване на звездните лъчи
Беше показано преди това (в теорията на зд) извеждането на зависимостта за локалната скорост на светлината в произволна точка от...
7 3 Теорема за проекцията на главната сила върху произволна ос и главния момент за произволна точка на равновесна равнинна група сили Теорема 2 iconКонспект за кандидат-докторантски изпит по Математическо моделиране в икономиката
Теорема за съществуване и единственост за решението на задачата на Коши за скаларно оду. Формулировка на съответните резултати за...
Поставете бутон на вашия сайт:
Документация


Базата данни е защитена от авторски права ©bgconv.com 2012
прилага по отношение на администрацията
Документация
Дом