Извадкови разпределения -централна гранична теорема




ИмеИзвадкови разпределения -централна гранична теорема
Дата на преобразуване20.10.2012
Размер71.69 Kb.
ТипДокументация
източникhttp://ploski-bg.com/91/files/ikonomika/statistika/33.doc
ЦЕНТРАЛНА ГРАНИЧНА ТЕОРЕМА. ТАБЛИЦИ ЗА РАЗПРЕДЕЛЕНИЯ И РАБОТА С ТЯХ. ОЦЕНЯВАНЕ СРЕДНАТА НА ОСНОВНА СЪВКУПНОСТ. ДОВЕРИТЕЛЕН ИНТЕРВАЛ. ОПРЕДЕЛЯНЕ РАЗМЕРА НА ИЗВАДКАТА.

ИЗВАДКОВИ РАЗПРЕДЕЛЕНИЯ –ЦЕНТРАЛНА ГРАНИЧНА ТЕОРЕМА


Ако от дадена генерална съвкупност извлечем всички възможни извадки с фиксиран обем n, то всяка от тях ще има своя средна. Ако броят на възможните извадки е k, ще получим k на брой средни 



т.е. получаваме едно ново разпределение, което се нарича извадково разпределение на средните. То има своя средна, своя дисперсия и стандартно отклонение. Стандартното отклонение на извадковото разпределение на средните се нарича стандартна грешка на средната

По аналогичен начин, освен извадково разпределение на средните, можем да получим и извадково разпределение на всяка друга статистика на извадката. Стандартното отклонение на извадковото разпределение се нарича стандартна грешка на съответната статистика. Стандартната грешка на една статистика е индикатор за качествата на статистиката като оценка на съответния параметър на генералната съвкупност. 

Тъй като на практика почти никога не е възможно да се пресметнат стойностите на статистиката за всички съществуващи извадки с даден обем (дори и за крайни генерални съвкупности с неголям обем), то обикновено извадковото разпределение на статистиката се получава по теоретичен път (т.е. имаме вероятностно, а не емпирично разпределение). Може да се докаже, че с нарастването на n, извадковото разпределение на средните на простите случайни извадки с обем n, извлечени от генерална съвкупност със средна и ограничена дисперсия  има следните свойства: 

1. Разпределението на извадковите средни се стреми към нормалното разпределение. 

2. Средната на извадковото разпределение на средните е равна на .

3. Дисперсията на това разпределение е а стандартното отклонение е 

Горното твърдение е известно като централна гранична теорема. То дава информация за формата, разположението и разсейването на извадковото разпределение на средните. По-точно, ако генералната съвкупност е приблизително нормално разпределена, то и извадковото разпределение на средните е нормално, включително и за извадки с малък обем. Ако разпределението на генералната съвкупност съществено се различава от нормалното, то извадковото разпределение на средните е приблизително нормално за извадки с обем     За извадки с по-малък обем се прилага така нареченото t-разпределение или разпределение на Стюдънт

Тъй като на практика рядко е известна средната на генералната съвкупност, то чрез централната гранична теорема може да се оцени близостта на получената по извадката средна до истинската, но неизвестна средна на генералната съвкупност. Тази оценка се базира на стандартната грешка на средната, която съгласно последната част на теоремата е Очевидно, колкото по-голям е обемът на извадката, толкова по-малка е грешката при оценяването на средна на генералната съвкупност чрез средната на извадката (тази грешка се нарича извадкова грешка). 

При неизвестно стандартно отклонение на генералната съвкупност, като оценка на се използва извадковото стандартно отклонение s и в този случай оценката на стандартната грешка на средната е където 

Отворете файла sample.xls, за да експериментирате генериране на извадки с произволен обем от генерална съвкупност с нормално разпределение, изчисляване на извадковата средна и на стандартната грешка на средната. Сравнете параметрите на генералната съвкупност със статистиките на извадките и на извадковото разпределение като увеличавате размера на извадката:



t-разпределение

При проверка на хипотези, когато е неизвестно и като оценка се използва извадковото стандартно отклонение s, нормалното разпределение не е подходящо като модел за описание на поведението на извадковата средна. Този факт е доказан в началото на 20-ти век от Уилям Госет, млад химик, работещ в пивоварна в Дъблин, Ирландия. Занимавайки се с контрола на качеството, той показва, че традиционните статистически процедури, които използват нормалното разпределение като извадково, не са подходящи за малки извадки. Той установява, че за малки извадки извадковото разпределение се отклонява съществено от нормалното и че с изменението на обема на извадките се променя и разпределението, т.е. имаме не едно разпределение, а фамилия от разпределения. Освен това, Госет стига до извода, че с нарастването на обема на извадките изучаваното разпределение се приближава към нормалното разпределение. По-късно, в сътрудничество с математици, е получена основната форма на това извадково разпределение и през 1908 г. Госет публикува резултатите под псевдонима Стюдънт. Така тази фамилия извадкови разпределения днес е известна под името „разпределение на Стюдънт”, а също и като „t-разпределение”. 

За всички извадки с фиксиран обем n съществува специфично t-разпределение, което е свързано с базовото понятие степени на свобода. Степените на свобода могат да се определят като броя на измерванията в извадката минус броя на ограниченията, наложени на тях. Например, ако стойностите в извадката са а средната й е , то само n - 1 от измерванията в извадката могат да варират, докато n-тата стойност трябва да бъде такава, че сумата от отклоненията от средната да бъде равна на нула, т.е.  Така в този случай имаме n стойности и едно ограничение и затова броят на степените на свобода е n - 1. В общия случай за извадка с обем n броят на степените на свобода е n - 1. Подобно на нормалната крива, различните t-разпределения са симетрични и имат камбановидна форма, като при n > 120 те съвпадат с нормалната крива.



ОЦЕНЯВАНЕ СРЕДНАТА НА ГЕНЕРАЛНА (ОСНОВНА) СЪВКУПНОСТ

ДОВЕРИТЕЛЕН ИНТЕРВАЛ

Нека се разглежда случайната величина Х с математическо очакване e и дисперсия 2. В резултат на извадка е получена оценка X на средната на основната съвкупност. Ако бъдат осъществени повече от една извадки ще се получат, в общия случай, различни стойности на X. Всичките те са точкови оценки на средната на генералната съвкупност e.

Интервалната оценка е формула, която показва как по данните от извадката да се определи интервал, който оценява параметъра на основната съвкупност. По тази формула се определят числовите стойности на интервала, в който, с определена вероятност, може да се твърди, че се намира стойността на оценявания параметър. Съгласно централната гранична теорема, при голям обем на извадката (n 30), извадковата средна има разпределение близко до нормалното, което позволява да се използват неговите свойства. За параметъра e може да бъдат определени интервал ни оценки от вида , , , .

Графично, за стойности разпределението на площта под нормалната крива е показано на фигypата.

Вероятност, определена като (1 - ), за дадена стойност на , се нарича коефициент на доверителност (увереност). Коефициентът на доверителност, измерен в процент като 100(1-)%, се нарича равнище на доверителност (увереност). Числото , наричано равнище на значимост, показва частта от общата площ под нормалната крива, която е извън площта, съответстваща на интервала, определен от коефициента на доверителност. Тъй като разпределението е симетрично, от двете страни на тази площ е разположена площ равна на /2 .

За нормираната величина , която има нормално разпределение с математическо очакване e=0 и дисперсия 2 = 1, при дадено , площта под нормалната крива се представя както на фигурата.


За случайната величина Х, при дадена стойност на , вероятността математическото очакване Е(Х) = e да попадне в интервала Х a Z се определя като

, където стойността на Z се определя по таблицата в приложение 1.

Вероятността Z да попадне в интервала E(Z) a Z/2 се определя за стойност на Z/2, получена от приложение 2, като

P{-Z/2 < ez < Z/2 }.


Вероятността математическото очакване e на случайната величина Х да попадне в интервала X a Z/2, при голям брой изпитания, т.е.

, съответно

е равна на (l-).


Интервалът



съответно е доверителен интервал, в който с вероятност, съответстваща на , може да се твърди, че се намира средната стойност на параметъра Х на основната съвкупност. Тук Z, респективно Z/2, е стойността на Z, за която съответно от ляво и от дясно е отграничена област с площ под нормалната крива равна на /2.

При големи извадки (n 30), когато не се разполага със стойностите на и 2, доверителният интервал се определя като



съответно,

, където

е неизместена оценка на , получена от извадка. Така определеният доверителен интервал с равнище на увереност 100(1-)%, респективно коефициент на увереност (1-), дава основание да се твърди с вероятност (1-), че стойността на ex се намира в границите на интервала. Величината се нарича средна стохастична грешка, а - максимална стохастична грешка.

ОПРЕДЕЛЯНЕ РАЗМЕРА НА ИЗВАДКАТА

Размерът на извадката зависи от ширината на интервала, в който попада стойността на e, и равнището на увереност, че тя ще попадне в него. Нас ни интересува вероятността e да попадне в интервала X a Z/2 с равнище на увереност 100(1-)%. Приема се максималната стохастична грешка да се означи с . От тук при зададени стойности на , и Z/2 и величината на n се определя от съотношението



Стойността на максималната грешка се задава по предварително приети съображения.

Когато вместо със се разполага с изчислената по данни от извадка величина S, се изчислява . Ако , тогава и съответно .

Свързани:

Извадкови разпределения -централна гранична теорема iconЛетен триместър 2010/2011
Бейс, случайни величини, функция на разпределение, свойства и основни видове дискретни и непрекъснати случайни величини, числови...
Извадкови разпределения -централна гранична теорема iconУч с-ца
...
Извадкови разпределения -централна гранична теорема iconОсновна теорема на алгебрата(Теорема на Даламбер)
Следователно достатъчно е да докажем, че h(X) има реален корен. Тъй-като ст.(h(X)) е нечетна имаме
Извадкови разпределения -централна гранична теорема icon4. 5 Активност: Дефиниции и теорема за монотонност на функциите
Накрая, завършваме активността с едно приложение на тази теорема при изследването на функция за монотонност и екстремуми
Извадкови разпределения -централна гранична теорема icon3. Статистически методи за анализ на емпирични разпределения Същност, видове, типични форми и основни обобщаващи характеристики на емпиричните разпределения. Средни величини. Статистическа вариация, асиметрия и ексцес
Що е статистика? Еволюция на статистическите знания. Статистически метод. Обща теория на статистиката. Статистическа наука и практика....
Извадкови разпределения -централна гранична теорема icon3. Статистически методи за анализ на емпирични разпределения Същност, видове, типични форми и основни обобщаващи характеристики на емпиричните разпределения. Средни величини. Статистическа вариация, асиметрия и ексцес
Що е статистика? Еволюция на статистическите знания. Статистически метод. Обща теория на статистиката. Статистическа наука и практика....
Извадкови разпределения -централна гранична теорема icon3. Статистически методи за анализ на емпирични разпределения Същност, видове, типични форми и основни обобщаващи характеристики на емпиричните разпределения. Средни величини. Статистическа вариация, асиметрия и ексцес
Що е статистика? Еволюция на статистическите знания. Статистически метод. Обща теория на статистиката. Статистическа наука и практика....
Извадкови разпределения -централна гранична теорема icon3. Статистически методи за анализ на емпирични разпределения Същност, видове, типични форми и основни обобщаващи характеристики на емпиричните разпределения. Средни величини. Статистическа вариация, асиметрия и ексцес
Що е статистика? Еволюция на статистическите знания. Статистически метод. Обща теория на статистиката. Статистическа наука и практика....
Извадкови разпределения -централна гранична теорема icon3. Статистически методи за анализ на емпирични разпределения Същност, видове, типични форми и основни обобщаващи характеристики на емпиричните разпределения. Средни величини. Статистическа вариация, асиметрия и ексцес
Що е статистика? Еволюция на статистическите знания. Статистически метод. Обща теория на статистиката. Статистическа наука и практика....
Извадкови разпределения -централна гранична теорема iconКонспект за кандидат-докторантски изпит по професионално направление 5 Математика
Теорема за съществуване и единственост за решението на задачата на Коши за скаларно оду. Формулировка на съответните резултати за...
Поставете бутон на вашия сайт:
Документация


Базата данни е защитена от авторски права ©bgconv.com 2012
прилага по отношение на администрацията
Документация
Дом