4. 5 Активност: Дефиниции и теорема за монотонност на функциите




Име4. 5 Активност: Дефиниции и теорема за монотонност на функциите
страница1/3
Дата на преобразуване16.10.2012
Размер254.42 Kb.
ТипДокументация
източникhttp://www.math.uoa.gr/calgeo/bg/activities.bg/4.5.activity.bg.doc
  1   2   3
4.5 Активност: Дефиниции и теорема за монотонност на функциите


Съдържание на активността

В тази активност разглеждаме понятието монотонност на функция, след което въвеждаме теоремата за монотонност на диференцируемите функции в интервал, както и нейното доказателство. Накрая, завършваме активността с едно приложение на тази теорема при изследването на функция за монотонност и екстремуми.

Цели на активността

  • С тази активност се стремим учениците да:

  • Установят връзката между монотонността на дадена функция със знаците на наклоните (ъгловите коефициенти) на хордите с краища върху графиката й.

  • Разберат на интуитивно ниво понятието монотонност и да извлекат оттам формалните определения.

  • Осъзнаят необходимостта от изследване за подинтервали на дефиниционната област на функцията, в които тя е монотонна.

  • Могат да боравят комбинирано със символното (алгебричното) и графичното представяне на функциите, за да достигнат до формулиране на хипотеза, осмисляне на проблема, формулировка на теоремата за монотонност и накрая до нейното доказателство.

  • Разберат необходимостта на предположенията във формулировката на теоремата, както и невъзможността тя да се обърне.

  • Използват теоремата за изследване на функции за монотонност и локални екстремуми.

  • Могат да попълват и интерпретират таблицата за измененията на функцията.

Методология на активността

Логическата структура на активността е следната:

В първата част опитваме с помощта на софтуера да свържем на интуитивно ниво знака на наклона (ъгловия коефициент) на отсечка АВ с относителното положение на краищата и А и В върху графиката на строго монотонна функция. Изследването на интервали отляво и отдясно на даден екстремум водят естествено до дефинициите на монотонност (от двата типа) на функция. Типът на монотонност се свързва графично и алгебрично със знака на наклоните на хордите с краища върху графиката на функцията или на съответните диференчни частни.

След това чрез графиката се установява на интуитивно ниво връзката между знака на производната и монотонността и учениците се насочват стъпка по стъпка към предположение за твърдението на теоремата за монотонност, към нейната точна формулировка и накрая към нейното доказателство. В последната част, от учениците се изисква от графиката да извличат свързвана информация за функцията и нейната производна. Те трябва да използват получените теореми, за да извършат алгебричните пресмятания, необходими за попълването на класическата таблица за измененията на функцията.

Учениците събират информация, комбинирайки алгебрични, числени и графични представяния, предоставени от софтуера. Алгебричните пресмятания и попълването на таблицата за измененията са крайният резултат, следващ концептуалното разбиране на въведените понятия и не представляват главната и/или единствена цел.

Връзка на активността с учебната програма

Тази активност може да се използва при следните теми:

  1. Въвеждане на понятието монотонност. Тази част не използва понятието производна и може да се използва в за въвеждане на функции в курса по Елементарна алгебра за долните класове (например А клас на Лицеите в Гърция).

  2. Въвеждане, доказателство и използване на теоремата за монотонност при изучаване на функциите във второто равнище на обучение или за уводен урок по диференциално смятане.

В зависимост от конкретните дидактични цели активността може да се излага изцяло или като се изпускат някои части, като например тези, които съдържат доказателства. Необходимото време се оценява на 3 учебни часа.

4.5.1 Работен лист (Анализ)

Монотонност на функция


ЗАДАЧА

Предполагаемата популация в стадо елени (в стотици) в една гора се задава приблизително с функцията с , където са годините от периода 1/1/2000 до 1/1/2009.

Природозащитна агенция е заинтересувана да знае периодите, в които популацията в стадото расте и периодите, в които тя намалява.

Отворете файла 4.5.1.activity.en.euc, с който е начертана графиката на функцията . Тази функция изразява броя на елените в периода 2000-2008 година като функция на времето x.

Като използвате графиката на функцията и инструмента Point - Coordinates (Точка - Координати), която задава и мести по графиката точка M, се опитайте да отговорите на следните въпроси:


В1: В кои периоди от време смятате, че броят на елените в стадото расте?

Какво характерно за формата на графиката забелязвате в тези периоди?


В2: В кои периоди от време смятате, че броят на елените в стадото намалява?

Какво характерно за формата на графиката забелязвате в тези периоди?


Отворете файла 4.5.2.activity.en.euc, за да видите точките A и B, както и броячът, отмерващ стойностите на наклона на отсечката AB. Можете да местите коя да е от точките A и B и да следите с помощта на брояча знаците на разликите и .

Преместването на точка се реализира с Ctrl+1, позициониране на курсора (щракване с мишката) върху точката и теглене с натиснат ляв бутон на мишката.

В3: Наблюдавайте местенето на двете точки. Какво трябва да бъде относителното положение на А и B, така че наклонът на отсечката AB да бъде:

а. Положителен?

б. Отрицателен?

в. Нула?


След затваряне на файла 4.5.2, в предишния файл 4.5.1 натиснете бутоните Local Maximum (Локален Максимум), който показва локален максимум и Chord ΑΒ (Хорда АВ), за да видите да се появяват върху графиката на функцията двете точки и , съответната хорда AB и броячът на стойностите на нейния наклон. Натискайки Ctrl+2, и след това с мишката можете да местите по желание точките A и B по графиката на функцията.


В4: Какво забелязвате за знака на наклона на изменящата се хорда АB, когато плъзгате точките A и B върху графиката на функцията вляво от точката ?


В5: Каква е алгебричната формула, изразяваща наклона на хордата AB?


В6: Какво може да заключите сравнявайки и, когато ?

Можете ли да обосновете отговора си с помощта на диференчното частно?


Функция, която удовлетворява горното условие за всяка двойка от даден интервал Δ от дефиниционната си област, се нарича строго растяща в Δ.


В7: Опитайте се да формулирате с математически термини и символи кога една функция е строго растяща в интервал Δ от дефиниционната си област.


В8: Какво забелязвате за знака на наклона на изменящата се хорда АB, когато плъзгате точките A и B върху графиката на функцията вдясно от точката ?


В9: Какво може да заключите сравнявайки и, когато ?

Можете ли да обосновете отговора си с помощта на диференчното частно?


Функция, която удовлетворява горното условие за всяка двойка от даден интервал Δ от дефиниционната си област, се нарича строго намаляваща в Δ.


В10: Опитайте се да формулирате с математически термини и символи кога една функция е строго намаляваща в интервал Δ от дефиниционната си област.


Функциите , които са строго растящи или строго намаляващи в даден интервал Δ , се наричат строго монотонни в Δ.


Нека е строго монотонна функция в даден интервал Δ, а са две случайно избрани точки от интервала Δ.


В11: i) Какво може да твърдите за знака на диференчното частно , ако е строго растяща в Δ?

ii) Какво може да твърдите за знака на диференчното частно , ако е строго намаляваща в Δ?

Обратно: Да предположим, че функцията е дефинирана в интервала Δ и са две различни точки, т.е. .


В12: i) Какво може да заключите за монотонността на функцията в интервала Δ, ако за всеки две точки диференчното частно е положително?

ii) Какво може да заключите за монотонността на функцията в интервала Δ, ако за всеки две точки диференчното частно е отрицателно?


В13: Нека функцията е дефинирана в интервала Δ и е вътрешна точка на Δ.

Какви условия е достатъчно да изпълнява функцията в близост до точката , за да има в тази точка:

Α) Локален максимум?

Б) Локален минимум?


В14: Какво може да ни помогне да определим локалните екстремуми на дадена функция?

4.5.2 Работен лист (Анализ)

Връзка между монотонност и знака на производната


В много случаи проверката за монотонност на функция с използване на дефиницията не е лесна (например, как бихме могли да докажем, използвайки дефиницията, че функцията , е строго растяща). Изтъквайки потенциалните трудности от такъв тип учителят може да мотивира провеждането в класа на дискусия, водеща до необходимостта от намиране на инструменти, които да помогнат при изследването за монотонност на функциите. Връзката на монотонността със запазването на знака на наклоните на хордите към графиката, установена в Работна страница 4.5.1, ще ни отведе с помощта на Теоремата за средните стойности към знака на производната.


ЗАДАЧА

Как можем да определим периодите от време, в които броят на елените в стадото расте или намалява?


Използването на производни и техният принос към изследването на функции бяха установени в активност 4.3, разглеждаща Теоремата на Ферма. Сега може да се инициира друго обсъждане на връзката на производните с монотонността. Двете понятия могат да бъдат съотнесени едно към друго чрез наклоните на хордите към графиката на функцията по следния начин: Що се отнася до монотонността, тя беше вече свързана със знака на наклона на хордите в Работна страница 4.5.1, а производната пък се отнася до допирателните, които са граници на секущи. Ето защо се очаква въпросът за наклоните на хордите да се обсъжда преди въпроса В7 по-долу.

Отворете файла 4.5.4.activity.en.euc, който изчертава графиката на функцията , която се появява на монитора. Тази функция изразява големината на популацията от елени в стадото в зависимост от времето. Натиснете бутна Tangent (Допирателна), за да се появи допирателната към графиката на в случайна точка . Наклонът на допирателната в точката K се показва от брояч и може да се записва ръчно за различни положения на K по графиката на функцията. Това може да се направи с местене на абсцисата на точката при натиснат бутон F7. Можете да следите знака на наклона на допирателната по показанията на брояча и в същото време да видите графиката на производната функция , която е начертана в същата координатна система. Тази графика представлява кривата описана от точката , когато абсцисата се мени. С Ctrl+z можете да отстраните (в обратен ред) всичките описани действия, които сте извършили с програмата.


В1: В кои интервали производната на е положителна, в кои е отрицателна и в кои точки е нула?

Очакваме учениците да осъществят първия си контакт с връзката на вида на графиката със знака на производната. Те могат да движат точката K по графиката, менейки нейната абсциса, за да установят, визуално или с помощта на брояча, кои са интервалите, в които наклонът на допирателната е положителен или отрицателен, както и кои са точките, в които той е нула (нулите на производната).

Учениците могат да експеримен-тират със софтуера и очакваме те да установят връзката между числовата информация за наклона и вида на графиката. Нещо повече, те могат да разполагат върху същия екран с графиката на функцията, а също така и с графиката на нейната производна, от която те могат да получат знака на производната и нейните нули и да ги свържат с монотонността и екстремумите на функцията.

Графиката на може да се отстрани с Ctrl+z, така че учениците могат да експериментират.

  1   2   3

Свързани:

4. 5 Активност: Дефиниции и теорема за монотонност на функциите iconУч с-ца
...
4. 5 Активност: Дефиниции и теорема за монотонност на функциите icon4. 4 Активност : Теорема за средните стойности в диференциалното смятане
Тази активност запознава с Теоремата за средните стойности (тсс)1 в диференциалното смятане без доказателство
4. 5 Активност: Дефиниции и теорема за монотонност на функциите iconОсновна теорема на алгебрата(Теорема на Даламбер)
Следователно достатъчно е да докажем, че h(X) има реален корен. Тъй-като ст.(h(X)) е нечетна имаме
4. 5 Активност: Дефиниции и теорема за монотонност на функциите iconKакво означават изследванията «АлАТ» и «АсАТ»
В човешкия организъм ензимът Алат се открива в различни тъкани и 6 органи с различна активност. В клетките на черния дроб се намира...
4. 5 Активност: Дефиниции и теорема за монотонност на функциите iconСписък на продуктите, свързани с отбраната
Забележка 1: Термините в кавички ("") са термини с дефиниции. Справка може да се направи в "Дефиниции на термините, използвани в...
4. 5 Активност: Дефиниции и теорема за монотонност на функциите iconКонспект за кандидат-докторантски изпит по професионално направление 5 Математика
Теорема за съществуване и единственост за решението на задачата на Коши за скаларно оду. Формулировка на съответните резултати за...
4. 5 Активност: Дефиниции и теорема за монотонност на функциите iconКонспект за кандидат-докторантски изпит по Математическо моделиране в икономиката
Теорема за съществуване и единственост за решението на задачата на Коши за скаларно оду. Формулировка на съответните резултати за...
4. 5 Активност: Дефиниции и теорема за монотонност на функциите iconИзвадкови разпределения -централна гранична теорема
Централна гранична теорема. Таблици за разпределения и работа с тях. Оценяване средната на основна съвкупност. Доверителен интервал....
4. 5 Активност: Дефиниции и теорема за монотонност на функциите iconКонспект за кандидатдокторантски конкурсен изпит по професионално направление 5 Математика (Математическа логика)
Теория на множествата  аксиоматична система на Цермело-Фрепкел. Частични и линейни наредби. Сравняване на множествата по мощност....
4. 5 Активност: Дефиниции и теорема за монотонност на функциите icon7 3 Теорема за проекцията на главната сила върху произволна ос и главния момент за произволна точка на равновесна равнинна група сили Теорема 2
Много често телата са натоварени с група сили, разположени в една равнина (фиг. 14. а)
Поставете бутон на вашия сайт:
Документация


Базата данни е защитена от авторски права ©bgconv.com 2012
прилага по отношение на администрацията
Документация
Дом