Задачи от степенни редове




ИмеЗадачи от степенни редове
Дата на преобразуване21.04.2013
Размер48.69 Kb.
ТипЗадача
източникhttp://arsmath.org/NVUMathLectures/JORGOV-EXERCISES/VM-3/VM-3-6-stepenni-redove-seminar.doc
§6. Задачи от степенни редове


Съдържание

1. Определяне на радиуса на сходимост на степенен ред

2. Изследване сходимостта на степенни редове

3. Определяне на сумата на степенен ред


ТЕОРИЯ

Редът от функции



се нарича степенен ред с център в точката и коефициенти , . Множеството на сходимост на реда не е празно, понеже винаги съдържа поне точката .

Да разгледаме степенния ред



Съгласно правилото за сумиране на геометрична прогресия, при редът (9.4) представлява функцията

.

При кое да е , за което , редът е разходящ, понеже общият му член не клони към нула. По този начин множеството , над което редът е сходящ, се определя от условието , което задава интервал с център в точката и радиус .Радиусът на сходимост на реда



може да бъде намерен с помощта на формулата на Адамар,

,

където е най-голямата точка на сгъстяване за редицата . В повечето случаи обаче радиусът на сходимост се пресмята въз основа на следното

Твърдение. Нека съществува някоя от границите или . Тогава , при което ако , то , и ако , то .

Степенните редове с ненулев радиус на сходимост допускат почленно диференциране. Резултатът от почленно диференциране на даден степенен ред е отново степенен ред със същия радиус на сходимост.

Нека е степенен ред с ненулев радиус на сходимост, . Тогава за неговите коефициенти е в сила формулата

, ,

следователно редът може да се запише във вида

, т.е.

,

при което последният ред е абсолютно и равномерно сходящ над всеки ограничен затворен интервал . Степенните редове с ненулев радиус на сходимост допускат почленно интегриране.


ЗАДАЧИ

Задача 1. Да се определи радиуса на сходимост на всеки от редовете:

1.1.

1.2.

1.3. .

Решение. 1.1. Определяме коефициента пред в общия член



на реда и използваме формулата



Тогава

.

1.2. Определяме коефициента пред в общия член



на реда и използваме формулата



Тогава



1.3. Задачата решаваме както 1.1. и намираме. .

Задача 2. Да се изследва сходимостта на всеки от редовете:

2.1.

2.2.

2.3. .

Решение. 2.1. Първо определяме радиуса на сходимост на реда както в решението на предходните задачи



След това изследваме числовия ред, който се получава от степенния при заместване на с -3 и числовия ред, който се получава при заместване в степенния ред на с 3. Това са съответно.

а) реда



който е разходящ (по интегралния критерий на Коши), т.е. числото -3 не принадлежи на интервала на сходимост на степенния ред и

б) реда



който е сходящ (по критерия наЛайбниц), т.е. числото 3 принадлежи на интервала на сходимост на степенния ред. Обобщавайки получените резултати, определяме, че степенния ред има за интервал на сходимост интервала .

2.2. В дадения ред тудно може да бъде определен коефициента пред в общия член на реда. Ето защо полагаме и разглеждаме реда



Той има радиус на сходимост



Като заместим в степенния ред с -2 и с 2 се получават числовите редове и

които са сходящи – първия по критерия на Лайбниц, а втория по интегралния критерий на Коши. Следователно интервала на сходимост на степенния ред

е

а на дадения степенен ред е , т.е. .

2.3. Задачата решаваме по аналогичен начин като първо полагаме и изследваме за сходимост степенния ред



Той има радиус на сходимост и интервал на сходимост . Следователно



т.е. редът



е сходящ за всяко от интервала .

Задача 3. Чрез диференциране или интегриране намерете сумата на всеки от редовете:

3.1.

3.2.

3.3.

Решение. 3.1. Използваме. че при диференциране и при интегриране радиуса на сходимост на един степенен ред не се променя и ще се стремим да получим познат ред чрез посочените по-горе действия. Нека сумата на дадения ред е , а радиуса му на сходимост да е .От реда



чрез диференциране получаваме реда



а това е геометричен ред с частно и сума

.

Тогава чрез интегриране се получава

, .

Това означава, че . Остава да намерим стойността на константата . Изчисляваме сумата на реда първо от степенния ред за , а след това по получената формула за същото .



.

Излиза, че . и в такъв случай търсената сума на реда е



а интервала на сходимост на дадения ред е .

3.2. Решаваме задачата по абсолютно същия начин. Без да пишем подробно, решението ще изглежда така



. .

По същия начин както в предходната задача се намира . Тогава .

3.3. Ако сумата на реда е

,

то чрез две последователни интегрирания ще получим





За да намерим сумата на реда, диференцираме последователно два пъти последното равенство. Така определяме, че

.

.

Задача 4. Да се развие в степенен ред функцията:

4.1.

4.2.

4.3. ,

4.4. .

Решение. 4.1. Намираме производната . и забелязваме, че това е сума на геометрична прогресия с първи член 1 и частно , т.е. на реда

Чрез почленно интегриране определяме, че

Тъй като



то .Следователно дадената функция се развива в степенния ред .

4.2.

Тук сме използвали развитието на функцията в степенен ред.

4.3. Използваме, че



Тогава със заместване на x с намираме, че

След почленно умножаване с x се получава

.

4.4. Разлагаме на елементарни дроби и използваме сума на геометрична прогресия

.

Добавете документ към вашия блог или уеб сайт

Свързани:

Задачи от степенни редове iconВъпросник по "висша математика част трета"
Редове на Фурие ред за -периодични функции. Редове за четни и нечетни функции Функция на комплексна променлива диференцируемост,...

Задачи от степенни редове iconСтатистическо наблюдение – същност и задачи. Организация на наблюдението. Начини на провеждане. Единица и признаци на наблюдение. Достоверност на информацията, получена от наблюдението. Стастически редове и таблици

Задачи от степенни редове iconДействия с прозорци
Задържа винаги видими тези редове и колони, на които е приложена операцията Split. Обикновено това са заглавните редове или колони....

Задачи от степенни редове iconПрограма по иконометрия II част тема Иконометрия на динамични (временни) редове
Време в икономиката. Информационни бази на иконометричните изследвания. Информационни структури при динамичните (временни)редове

Задачи от степенни редове iconЛекция no. 1 / седмица 1/ въведение /тема 1
Включва още: системи за масово обслужване; оптимизационни задачи (линейно програмиране), комбинирани задачи за производство на продукти,...

Задачи от степенни редове iconСекция със задачи
Настоящият документ ни дава възможност да си записваме в него неотложни задачи и да ги прехвърляме лесно в списък с изпълнени задачи...

Задачи от степенни редове iconКонспект равномерна сходимост на редици от функции. Непрекъснатост на граничната функция. Почленно интегриране и диференциране. Равномерно сходящи редове от функции. Принцип на Коши за сходимост. Критерий на Вайерщрас
Равномерно сходящи редове от функции. Принцип на Коши за сходимост. Критерий на Вайерщрас

Задачи от степенни редове iconПостановка на задачата за оптимизация
Графическа интерпретация на оптимизационните задачи. Видове целеви функции. Основни трудности при решаване на оптимизационните задачи....

Задачи от степенни редове iconКак да решаваме задачи по програмиране?
Ще обърнем внимание на някои важни стъпки от решаването на задачи, които обикновено се пропускат, като например тестването. Надяваме...

Задачи от степенни редове iconКак да решаваме задачи по програмиране?
Ще обърнем внимание на някои важни стъпки от решаването на задачи (като например тестване), които обикновено се пропускат. Надяваме...

Поставете бутон на вашия сайт:
Документация


Базата данни е защитена от авторски права ©bgconv.com 2012
прилага по отношение на администрацията
Документация
Дом