Основни понятия с полиноми




ИмеОсновни понятия с полиноми
страница1/2
Дата на преобразуване21.01.2013
Размер230.27 Kb.
ТипДокументация
източникhttp://bgm8.bg/data/uploads/referats/379/0ee499436a08ea4300d37780720b99df.doc
  1   2

ОСНОВНИ ПОНЯТИЯ С ПОЛИНОМИ


  1. Дефиниция за полином

- Многочлен или полином се дефинира като сума от неотрицателни цели степени на променливата, умножена по реални числа. Отделните събираеми се наричат мономи или едночлени.

– Алгебричен израз от вида: , където a0 ≠0, се нарича полином от nта степен. Числата ai , i = 0,1,2...n се наричат негови коефициенти. a0 се нарича старши коефициент, а an – свободен член.

За коефициентите ще предполагаме че са цели, рационални числа или реални числа.

Пример: е полином от шеста степен с коефициенти (2, 4,

0, 1, -1, 0, 8 ). Старшият коефициент е 2, а свободният член е 8.

От определението следва, че функции, в които променливата х е повдигната на степен отрицателно или дробно число, не са полиноми.

Пример: функциите , , не са полиноми.

2 Равенство на полиноми – два полинома са равни, ако са от една и съща степен и коефициентите пред съответните степени на х са равни, т.е. и са равни, ако n=m, a0=b0, a1=b1, …, an=bm


3. Стойност на полином в точка х0 –можем да я пресметнем по два начина

а/ заместваме х с числото х0,





2

4

1

-1

0

8

1

2

6

7

6

6

14
б/ чрез схема на Хорнер


4. Корени /нули/ на полином – Числото се нарича “нула” на полинома p(x) ако p()=0.

Пример: 2 e “нула” на полинома , защото: .

а/ прост корен - Едно число х0 се нарича прост корен на полинома p(x), когато р(х) може да се представи във вида р(х) = (х - х0).р1(х), където р10) ≠ 0, т.е. х0 не е корен на р1(х).

б/ к-кратен корен – Едно число х0 се нарича к-кратен корен на полинома p(x), когато р(х) може да се представи във вида р(х) = (х - х0)к1(х), където р10) ≠ 0, т.е. х0 не е корен на р1(х).

Пример: Полиномът може да се представи във вида , откъдето се вижда, че 0 е прост корен, а. 1 е двукратен.


5. Намиране на рационалните корени на целочислени полиноми – Един полином е целочислен, ако всичките му коефициенти са цели числа. В сила са следните теорема и следствие:

Теорема: Нека р(х) е целочислен полином и рационалното число е корен на полинома, като p и q са взаимно прости числа. Тогава p дели свободния коефициент an, а q дели старшия коефициент а0.

Вярно е и обратното твърдение.

Следствие: Ако полиномът р(х) е целочислен и а0=1, то неговите рационални корени са цели числа.

Теоремата дава алгоритъм за намиране на рационалните корени на целочислен полином.

  • Намираме делителите на коефициентите аn и а0 на полинома р(х).

  • Съставяме множеството М на рационалните числа, чийто числители и знаменатели са делители съответно на аn и а0.

  • Проверяваме за всеки елемент на М дали е корен на полинома р(х). Проверката може да стане директно в полинома или чрез Схема на Хорнер

Пример: Да се намерят рационалните корени на полинома .

Нека P={-1, 1} е множеството от делителите на an=1, a Q={-1, 1, -2, 2} е множеството от делителите на a0=2. Следователно рационалните корени принадлежат на множеството М={-1, 1, , }.

І начин: С непосредствена проверка установяваме, че -1 е корен на дадения полином.





2

1

-1

1

1

-1

2

-1

0

1

0 => -1 е корен

1

2

3

2

3

4 => 1 не е корен
ІІ начин: чрез сгена на Хорнер


Пример: Да се намерят рационалните корени на полинома .

Нека P={-1, 1, 2, -2} е множеството от делителите на an=2, a Q={-1, 1} е множеството от делителите на a0=1. Следователно рационалните корени М={-1, 1, -2, 2}. С непоср. проверка установяваме, че -2 е корен на полинома.

Зад. 1. Да се намерят рационалните корени на целочислените полиноми:

а/ б/ в/ г/

Зад. 2. Да се намерят общите рационални корени на полиномите:

а/ и б/ и

ДЕЙСТВИЯ С ПОЛИНОМИ



1. Събиране на полиноми

Дадени са два полинома и , съответно от степен n и m. Сума на полиномите р(х) и q(x) наричаме полином, чийто коефициенти се получават като сума на коефициентите пред съответните степени на х.

За операцията събиране на полиноми са в сила комутативния и асоциативния закони, т.е.

p(x) + q(x) = q(x) + p(x)

(p(x) + q(x)) + r(x) = p(x) + (q(x) + r(x))

Пример 1: p(x)= -2x 4 + 3x 2 + 5x + 8, q(x)= -2x 4 –3x 3 + 4x 2 - x + 3.

І начин: p(x)+q(x) = -2x 4 + 3x 2 + 5x + 8 + (-2x 4 –3x 3 + 4x 2 - x + 3) = -4x 4 - 3x 3 + 7x 2 + 4x + 11.


p(x)

-2x4




+3x2

+5x

+8

q(x)

-2x4

-3x3

+4x2

-x

+3

p(x)+q(x)

-4x4

-3x3

+7x2

+4x

11
ІІ начин: в таблица разполагаме коефициентите пред съответните степени един под друг


2. Изваждане на полиноми

Дадени са два полинома и , съответно от степен n и m. Разлика на полиномите р(х) и q(x) наричаме полином, чийто коефициенти се получават като разлика на коефициентите пред съответните степени на х.

Пример: p(x)= -2x 4 + 3x 2 + 5x + 8, q(x)= -2x 4 –3x 3 + 4x 2 - x + 3.

І начин: p(x)-q(x) = -2x 4 + 3x 2 + 5x + 8 - (-2x 4 –3x 3 + 4x 2 - x + 3) = 3x 3 - x 2 +6x + 5


p(x)

-2x4




+3x2

+5x

+8

q(x)

-2x4

-3x3

+4x2

-x

+3

p(x)-q(x)

0

+3x3

-1x2

+6x

5
ІІ начин:


3. Умножението се свежда до разкриване на скоби и извършване на действията с коефициентите пред съответните степени на х.

Пример: p(x)= 3x2 + x + 8, q(x)= -2x4 –3x3 + 4x2 - x + 3.

І начин: p(x)* q(x) = (3x2 + x + 8)*( -2x4 –3x3 + 4x2 - x + 3) = -6x6 – 9x5 + 12x4 – 3x3 + 9x2 – 2x5 – 3x4 + 4x3 – x2 + 3x – 16x4 – 24x3 + 32x2 – 8x + 24 = -6x6 – 11x5 -7x4 -23x3 + 40x2 -5x + 24

ІІ начин: умножението започва от последния член на Ія полином и съответните степени се подреждат една под друга.


4. Делението на полиноми

Теорема: Ако p(x) и q(x) са полиноми с рационални коефициенти, то съществуват единствени полиноми r(x) и s(x), наричани съответно частно и остатък, за които е изпълнено: p(x)=q(x)*r(x) + s(x) и степнента на s(x) е по-малка от степента на q(x).

а/ Деление на произволен полином

Делението на полиноми с частно и остатък прилича много на делението на цели числа и се извършва по следната схема:

  • Делим старшия едночлен на първия полином на старшия едночлен на втория полином и за частно записваме получения едночлен.

  • Умножаваме получения едночлен по втория полином и го записваме под първия.

  • Намираме разликата на първия полином и полинома под него.

  • С получения полином повтаряме алгоритъма, докато степента му стане по-малка от степента на полинома-делител.


Пример:


б/ деление на полинома (х-а) – може да се извърши по схемата на Хорнер

Процедира се както при намиране на стойност на полином в дадена точка а или проверка дали а е корен. На втория ред се получават получават коефициентите на частното, а най-накрая е остатъкът при това деление. Всъщност остатъкът при деление на (х-а) е точно стойността на полинома в точка а.

Пример: Да се разделят с частно и остатък полиномите p(x) = 2x4 -3x2 + 3 и q(x) = x-2.
Частното е: 2x3 +4x2 + 5x+10, а остатъкът е 23.


Пример: Да се разделят с частно и остатък полиномите p(x) = 2x4 -3x2 + 3 и q(x) = x + 2.

Схемата на Хорнер се прилага при деление на полином от вида x-a. Затова представяме q(x) = x+2 = x-(-2). Прилагаме схемата за -2.


5. Разлагане на множители

Разлагането на един полином на множители улеснява решаването на уравнения и неравенства.

а/ полином от степен n: Ако е полином от степен n и  e “нула” на полинома, то p(x) се разлага на множители по следния начин: p(x) =(x-) . q(x), където q(x) частното при деление на p(x) на (x-).

Пример:


б/ полином от втора степен: Ако p(x) = ax2 + bx +c е полином от втора степен, то разлагането му на множители е p(x) = a.(x-x1). (x-x2), където x1 и x2 са корени на уравнението ax2 + bx +c = 0.

Пример: Ще разложим квадратния тричлен 2x2+3x-5 на множители.

Решаваме уравнението:2x2+3x-5=0. Неговите корени са 1 и -5/2.

Търсеното разлагане е: 2x2+3x-5=0 = 2(x-1)(x+5/2) = (x-1)(2x+5).

УПРАЖНЕНИЕ


Зад. 1. Дадени са полиномите , и . Извършете означените действия:

а/ p(x) + q(x) б/ p(x).q(x) в/ г/


Зад. 2. Намерете частното и остатъка при делението на полинома p(x) на q(x), ако:

а/ и

Отг. Частно: , остатък:

б/ и

Отг. Частно: , остатък:

в/ и

Отг. Частно: , остатък:


Зад. 3. Намерете константите А, В и С в равенството:

а/ Отг.

б/ Отг.

в/ Отг.


Зад. 4. Чрез схема на Хорнер намерете частното и остатъка при делението на полинома p(x) на q(x), ако:





1

0

0

0

-7

0

1

1

1

1

1

1

-6

-6

-5
а/ и Отг.






1

-2

3

-2

1

-7

-1

1

-3

6

-8

9

-16
б/ и Отг.





1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0
в/ и Отг.






2

-1

-1

3

-2

2

2

3

5

13

24
г/ и Отг.






1

-4

8

-1

-4

1

-8

40

-161
д/ и Отг.






1

-2

3

4

-2

1

-4

11

-18
е/ и Отг.






1

3

0

-6

0

2

-3

1

0

0

-6

18

-46
ж/ и Отг.


Зад. 5. Пресметнете чрез схема на Хорнер p(α), ако





1

2

-3

-1

-3

-2

1

0

-3

5

-13
а/ и α = -2 Отг.






6

-5

0

0

0

-12

-3

1

6

1

1

1

1

-11

-14
б/ и α = 1 Отг.






6

-5

0

0

0

-12

-3

2

6

7

14

28

56

100

197
в/ и α = 2 Отг.

ПРОГРАМНА РЕАЛИЗАЦИЯ НА С++

Зад. 1. Да се напише програма за въвеждане на полином и извеждането му на екрана.

#include

using namespace std;

void Enter(int &n, int p[])

{

cout<<"Stepen na polinoma: "; cin>>n;

cout<<"Koeficienti: ";

for (int i=0; i<=n; i++) cin>>p[i];

}

void Print (int n, int p[])

{

for(int i=0; i<=n; i++)

{

if(p[i]>0) cout<<"+"<

if(p[i]<0) cout<

}

cout<

}

int main()

{

int n, p[100];

Enter (n, p);

cout<<"p(x) = "; Print (n, p);

return 0;

}

Забележка: Може да се подобри извеждането на полинома.

Зад. 2. Да се напише програма за пресмятане на стойността на полином при зададена стойност на х.

#include

using namespace std;

void Enter(int &n, int p[])

{

cout<<"Stepen na polinoma: "; cin>>n;

cout<<"Koeficienti: ";

for (int i=0; i<=n; i++) cin>>p[i];

}

void Print (int n, int p[])

{

for(int i=0; i<=n; i++)

{

if(p[i]>0) cout<<"+"<

if(p[i]<0) cout<

}

cout<

}

int Value (int x, int n, int p[])

{

//Horner

int s=p[0];

for (int i=1; i<=n; i++)

s=s*x+p[i];

return s;

}

int main()

{

int n, p[100];

Enter (n, p);

cout<<"p(x) = "; Print (n, p);

int x; cout<<"x="; cin>>x;

cout<<"p("<

return 0;

}

Зад. 3. Да се напише програма за намиране на рационални корени на полином със старши коефициент 1. Програмата да позволява въвеждането на произволен брой стойности /Ctrl+Z за край/.

#include

using namespace std;

void Enter(int &n, int p[])

{

cout<<"Stepen na polinoma: "; cin>>n;

cout<<"Koeficienti: ";

for (int i=0; i<=n; i++) cin>>p[i];

}

void Print (int n, int p[])

{

for(int i=0; i<=n; i++)

{

if(p[i]>0) cout<<"+"<

if(p[i]<0) cout<

}

cout<

}

int Value (int x, int n, int p[])

{

// Horner

int s=p[0];

for (int i=1; i<=n; i++)

s=s*x+p[i];

return s;

}

int main()

{

int n, p[100];

Enter (n, p);

cout<<"p(x) = "; Print (n, p);

int x;

cout<<"Enter: "<

while (cin>>x)

if (Value(x, n, p)==0)

cout <<"koren"<

else

cout <<"ne e koren"<

return 0;

}

Зад. 4. Да се напише програма за пресмятане на сума на два полинома.

#include

using namespace std;

void Enter(int &n, int p[])

{

cout<<"Stepen na polinoma: "; cin>>n;

cout<<"Koeficienti: ";

for (int i=0; i<=n; i++) cin>>p[i];

}

void Print (int n, int p[])

{

for(int i=0;i<=n;i++)

{

if(p[i]>0) cout<<"+"<

if(p[i]<0) cout<

}

cout<

}

void Sum (int n, int p[], int m, int q[])

{

int c[100];

int max = (n>m)?n:m;

int k=max;

for (int i=n, j=m; i>=0 && j>=0; i--, j--)

c[k--]=p[i]+q[j];

if (i<0) for (;j>=0; j--) c[k--]=q[j];

else for (;i>=0; i--) c[k--]=p[i];

cout << “Sum: “; Print (max, c); //ако е 0, не извежда нищо

}

int main()

{

int n, m, p[100], q[100],

Enter (n, p);

Enter (m, q);

cout<<"p(x) = "; Print (n, p);

cout<<"q(x) = "; Print (m, q);

Sum (n, p, m, q);

return 0;

}

Зад. 5. Да се напише програма за пресмятане на разлика на два полинома.

#include

using namespace std;

void Enter(int &n, int p[])

{

cout<<"Stepen na polinoma: "; cin>>n;

cout<<"Koeficienti: ";

for (int i=0; i<=n; i++) cin>>p[i];

}

void Print (int n, int p[])

{

for(int i=0;i<=n;i++)

{

if(p[i]>0) cout<<"+"<

if(p[i]<0) cout<

}

cout<

}

void Subtract (int n, int p[], int m, int q[])

{

int c[100];

int max = (n>m)?n:m;

int k=max;

for (int i=n, j=m; i>=0 && j>=0; i--, j--)

c[k--]=p[i]-q[j];

if (i<0) for (;j>=0; j--) c[k--]=-q[j];

else for (;i>=0; i--) c[k--]=p[i];

cout<<"Subtract:"; Print (max, c);

}

int main()

{

int n, m, p[100], q[100];

Enter (n, p);

Enter (m, q);

cout<<"p(x) = "; Print (n, p);

cout<<"q(x) = "; Print (m, q);

Subtract (n, p, m, q);

return 0;

}

За любознателните:

  1   2

Свързани:

Основни понятия с полиноми iconВидове матрици
Полиноми полиноми- на X от степен n се нарича израза Pn(X)= a0xn + a1xn-1 + + an-1x + an;х0 е нула на пол.,ако Рn(х0)=0
Основни понятия с полиноми icon1. Основни понятия и аксиоми на статиката основни понятия. Материална точка се нарича тяло резмерите на което могат да се пренебрегнат при условията на дадена
Абсолютно твърдо тяло наричаме всяка ограничена и непрекъсната съвкупност от материални точки разстоянията м/у които остават неизменни...
Основни понятия с полиноми iconОсновни понятия и величини в макроикономиката. Измерване
Макроикономически схеми за функциониране на икономиката. Основни макроикономически тъждества
Основни понятия с полиноми iconНа урока. Основни акценти в урока Основни понятия и термини
Запознаване с учебното съдържание по бел, целите и задачите на обучението в 11. клас
Основни понятия с полиноми iconТема на лекцията: Основни понятия за машиностроителните изделия Страница от
Понятие за инженерно проектиране. Основни етапи при проектиране. Методи на проектиране
Основни понятия с полиноми iconМаркетинг и идеи за прилагането му. Основни маркетингови концепции. Основни понятия в маркетинга. Нужди, желания, потребности, полезност, търсене, продукт, размяна. Маркетингов микс
Маркетинг същност и значение. Традиционно и съвременно разбиране на маркетинга. Принципи и функции на маркетинга. Основни маркетингови...
Основни понятия с полиноми iconГодина: І
Цели на курса: Да запознае студентите с основни черти на херменевтичния метод и историята на понятията, да ги обучи в основни методи...
Основни понятия с полиноми iconОсновни понятия

Основни понятия с полиноми iconI. Обща схема и основни понятия. Място на екскурзоводска услуга и екскурзоводско общуване в Туристическата инудистрия Да се посгледне схемата за туристическа индусрия!!!
Обща схема и основни понятия. Място на екскурзоводска услуга и екскурзоводско общуване в Туристическата инудистрия
Основни понятия с полиноми iconI. Основни понятия
Добавяне на текст
Поставете бутон на вашия сайт:
Документация


Базата данни е защитена от авторски права ©bgconv.com 2012
прилага по отношение на администрацията
Документация
Дом