Мерни единици. Превръщане. Вектори. Операции с вектори събиране, изваждане, умножение скаларно и векторно. Отправна координатна система. Радиус веркор




ИмеМерни единици. Превръщане. Вектори. Операции с вектори събиране, изваждане, умножение скаларно и векторно. Отправна координатна система. Радиус веркор
Дата на преобразуване19.01.2013
Размер131.85 Kb.
ТипДокументация
източникhttp://web.uni-plovdiv.bg/stnikolov/Seminarni uprajnenia/Mehanika/Seminar_1_2010.doc
Семинарно упражнение № 1


МЕРНИ ЕДИНИЦИ. ПРЕВРЪЩАНЕ. ВЕКТОРИ. ОПЕРАЦИИ С ВЕКТОРИ – СЪБИРАНЕ, ИЗВАЖДАНЕ, УМНОЖЕНИЕ – СКАЛАРНО И ВЕКТОРНО. ОТПРАВНА КООРДИНАТНА СИСТЕМА. РАДИУС ВЕРКОР. СРЕДНА СКОРОСТ.


1. ОСНОВНИ МЕРНИ ЕДИНИЦИ СЪГЛАСНО СИСТЕМА SI:


Какво измерваме?

Мерна единица

Съкратено означение

Маса

КИЛОГРАМ

kg

Дължина

МЕТЪР

m

Време

СЕКУНДА

sec

Температура

КЕЛВИН

K

Количество вещество

МОЛ

mol

Сила на ток

АМПЕР

A

Осветеност

КАНДЕЛА

cd



2. ПРОИЗВОДНИ ЕДИНИЦИ


Идеята за съществуването на основни единици е, че всички останали единици могат да се получат чрез основните.

Примери:

В какви единици мерим площ?

Площта например на един правоъгълник получаваме, като умножим дължините да двете му страни:

A=a.b

Тогава записваме:

[?] = [m][m]=[m2]

Значи площ измерваме в квадратни метри, или с други думи за описване на площта използвахме една основна величина, но повдигната на квадрат.


Да опитаме сега с обем на кибритена кутийка:


V=a.b.c

[?]=[m][m][m]=[m3]


Следователно, обем мерим в кубични метри или използвахме отново една основна величина, но повдигната на трета степен


В какви единици мерим скорост?

Ами скорост мерим в КМ / ЧАС ... значи използвахме две основни величини, чрез които изразихме скоростта, а именно единицата за ДЪЛЖИНА и единицата за ВРЕМЕ


V=S/t

[?] = [km]/[sec]=[]


Както се вижда, тук се използват две основни величини, като е взето тяхното частно.

По подобен начин се изразяват и другите величини... която и да ни хрумне 


3. АНАЛИЗ НА ДИМЕНСИИ


Този анализ е важен по много причини! Едната, от които е естествено, че чрез него можем да проверим дали сме работили правилно, или коя от няколко формули е правилната. Пример:


, където:

V е скоростта в [km/h]

V0 e началната скорост [km/h]

а е ускорението [km/h2]

t е времето [h]

Сега да проверим дали горната формула е правилна:









Съкращаваме ЧАС от числителя и знаменателя и получаваме:



Щом получихме и отляво и отдясно еднакви единици, значи формулата е правилна!

... е, с точност до коефициент, както се казва, защото ако във формулата участват безразмерни величини, то няма как този анализ да провери техните верни стойности.


Задача: Да се провери формулата:




като е известно, че X има размерност [m], а останалите величини са същите, както в горния пример

Отговор: формулата не е вярна!


4. ПРЕВРЪЩАНЕ


В науката много често работим с много големи или много малки числа. Например:

- Разстоянието от Земята до Слънцето е: 152 097 701 000 m

- Средното разстояние между молекулите на едно вещество е: 0,0000000002 m


Както се вижда от записа, много е трудно да преброим колко нули има, както и при записването – всеки път трябва да пишем толкова много нули. Затова са измислени по-съкратени записи, което не означава, че променяме числото!!! Просто го записваме по друг начин, но неговата стойност си остава същата.






1

2

3

4

5

6

7

8

0,

0

0

0

0

0

0

0

5



= 5 x 10-8



1

2

3

4

5

6

7

8

9

5

0

0

0

0

0

0

0

0



= 5 x 108


Задачи:

Да се представят следните числа, с помощта на степените на 10:


0,55

22000

333333,33


Във всекидниевния ни живот, ние без да се замисляме, всъщност използваме такива превръщания ...например, знаем че 100 стотинки са 1 лев. Знаем също, че понякога измерваме в сантиметри, понякога в метри, а понякога в километри:

Когато става дума за пътуване, казваме колко КИЛОМЕТРА ЩЕ ПРОПЪТУВАМЕ. Казваме, че разстоянието от Пловдив до Бургас е около 220 км. Не казваме, че разстоянието е 220 000 метра. Обаче, ако става дума за кафенето до нас, казваме, че то се намира на около 50 метра, а не казваме, че е на 0,05 км. А ако искаме да ни подстрижат косата, казваме колко сантиметра дълга искаме да остане след подстрижката 


Тогава нека сумираме:

Дотук споменахме 3 различни единици за дължина: САНТИМЕТЪР, МЕТЪР, КИЛОМЕТЪР....

Има и други, които по-рядко се използват от нас. Тук ще изброим всички, като дадем техните отношение спрямо метъра:


Единица

Обозначение

Отношение към метъра

КИЛОметър

кm

1000 = 103 m

МЕТЪР

m

1 m

САНТИметър

cm

0,01 = 10-2 m

МИЛИметър

mm

0,001 m

НАНОметър

nm

0,000000001 m

АНГСТРЬОМ

Å

0,0000000001 m


Друга т.е. физична величина, с която всеки ден имаме взимане даване е времето. Когато казваме колко е часът, ние първо даваме информация за часа, после за минутите и спираме дотам. Обаче, ако става дума за спринтъор на 100 или 200 метра... там всяка секунда е ценна и затова времето се дава до секундите... О, но ние дотук споменахме 3 различни единици за време!!! Нека обобщим:


Единица

Обозначение

Отношение към секундата

СЕКУНДА

sec

1 sec

МИНУТА

min

60 sec

ЧАС

h

60 min = 3600 sec


Подобни превръщания са възможни за всички единици, като на базата на десетичната система това превръщане става, както следва:


Приставка

Обозначение

Множител

ТЕРА

Т

1012

ГИГА

G

109

МЕГА

M

106

КИЛО

k

103

ДЕКА

h

102

ДЕЦИ

da

101

САНТИ

c

10-1

МИЛИ

m

10-2

МИКРО



10-6

НАНО

n

10-9

ПИКО

p

10-12

ФЕМТО

f

10-15



5. ВЕКТОРИ. ОПЕРАЦИИ С ВЕКТОРИ


ВЕКТОР – се нарича насочена отсечка (Фиг.1). Бележи се със стрелка над буквата: Дължината на вектора се бележи с (нарича се модул)

Фиг. 1


СВОЙСТВА:

  1. Два вектора са равни, когато имат еднакви дължини и еднакви посоки (без значение къде в пространството се намират) – Фиг.2

  2. Два вектора са противоположни, когато имат еднакви дължини и противоположни посоки: вектор е противоположен на вектор Фиг.3, което също значи, че



Фиг.2 Фиг.3


  1. Векторите могат да се сумират, като записваме: и казваме: вектор

е сума на векторите и - Фиг. 4 . Ако векторите се намират на произволно място в пространството, то следва вторият вектор да се пренесе така, че неговото начало да съвпада с края на първият вектор, както е показано на Фиг.4

Фиг. 4


СВОЙСТВА НА СУМИРАНЕТО:
А)
Б)

  1. Изваждане на вектори . Kазваме, че векторът е разликата на векторите и . Разликата можем да си я представим, като и следваме свойствата на събирането

  2. Произведение на вектори:
    А) Скаларно – нарича се така, защото резултатът от него НЕ Е ВЕКТОР, а число. Другата дума за число е СКАЛАР. Записва се: и резултат от това произведение е: , където  е ъгълът, които сключват двата вектора помежду си – Фиг.5
    Б) Векторно – резултатът от това произведение е също вектор: , Фиг. 6. Тук при изчисляването на големината на векторa се използват отново модулите на векторите, които умножаваме и , но умножение по Sinus на ъгълът между тях . Последният символ означава единичен вектор, който дава посоката на векторът . Така, че окончателният резултат на произведнието е вектор, които има големина, изчислена с помощта на големините на векторите и , умножени по синус от ъгълът между тях, а посоката се задава от вектор . Тази посока пък се определя от т.нар. правило на дясната ръка (Фиг. 7)


Фиг.5 Фиг.6


ПРАВИЛО НА ДЯСНАТА РЪКА: Поставяме дланта на дясната ръка по направление на вектоът , така че ако сгънем пръстите си те да се насочват към . Тогава палецът ни сочи направлението на т.е. и на векторът




Фигура 7



СВОЙСТВА НА ВЕКТОРНОТО УМНОЖЕНИЕ:







Пример за прилагане на такова умножение е при изчисляване на обем V:





А



Фигура 8

ко разглеждаме представянето на вектори в тримерно пространство, то имаме наредена тройка от числа, която преставлява дължините на проекциите по Х,
Y и Z осите (началото на вектора взимаме винаги в началото на координатната система) – фиг. 8

Тогава всеки вектор може да се разложи на сума от 3 вектора. Един по Х оста, един по Y и един по Z оста. Следвайки свойствата на събирането на вектори, истинският вектор се представя като:





Ах Аy и Az са числа, даващо само дължините на отсечките по съответните оси, докат посоката се дава с въвеждането на единични вектори по всяка от осите (,). Дължината на единичният вектор е винаги 1. Поради това той служи само да укаже посока, но не влияе на големината по получените вектори.


Нека имаме два вектора:








Да умножим СКАЛАРНО тези два вектора означава:





Отговорът е число!!!


Да умножим ВЕКТОРНО тези два вектора означава:








Отговорът е вектор!!!





Фигура 9



Точката, където трите координатни оси се пресичат се нарича НАЧАЛО НА КООРДИНАТНАТА СИСТЕМА – точката О на Фигура 9 Нека свържем с отсечка т.О и разглежданата т.А от Фигура 9 и краят откъм т.А отбележим със стрелка. Така получената отсечка е насочена и се нарича ВЕКТОР.

Тъй като началото на всеки радис-вектор е винаги началото на координатната система, то координатите на края му (т.А в случая) определят напълно и еднозначно този вектор.

В кинематиката такъв вектор се нарича РАДИУС-ВЕКТОР.

Ако точката А се движи, то нейните координати ще се променят, което пък означава, че и радиус-векторът ú ще се мени. Ако искаме да видим как се променя положението на точката с времето, можем да следим или промяната на нейните координати, или промяната в радиус-вектора ú.


6. КИНЕМАТИКА В ЕДНО ИЗМЕРЕНИЕ

Кинематика - описва движението, без да се интересува от причините, които го пораждат

Постъпателно движение – движение без въртене – ако си представите, че се движите напред, то всяка ваша част извършва постъпателно движение.

Идеализирана частица – това е идеализиран случай, в който частицата (тялото) се разглежда, като математичестка точка т.е. няма размери и може да извършва само постъпателно движение. Реалните тела имат размери и могат да се въртят, но има редица случаи, в които въпреки това можем да ги разглеждаме, като частица.


СРЕДНА СКОРОСТ: В общ случай под средна скорост () разбираме общият изминат път (S), разделен на времето (t), което е било необходимо да изминем този път:





Пример 1:

Какво разстояние ще измине велосипедист за 4 часа, ако неговата средна скорост е 11,5 кm/h?

Решение: Тъй като знаем, че , то тогава за S получаваме:

или S = 11,5 . 4 = 46 km


Пример 2:

Един влак изминава половината път със скорост 40 km/h , а другата половина със скорост 80 km/h. Колко е неговата средна скорост?

Решение: Записваме познатата ни формула: , която показва, че по дефиниция средната скорост е равна на пътя, разделен на нужното за изминаването му време. Тогава за да решим задачата, тъй като имаме вече пътя, ни трябва да опеределим нужното време:



Сега вече можем да решим задачата:




ДА СЕ ПРЕВЪРНЕ В МЕТРИ ЗА СЕКУНДА!


Пример 3:

Влак изминава половината време със скорост 40 km/h , а другата половина със скорост 80 km/h. Колко е неговата средна скорост?

Решение: Записваме познатата ни формула: . За да решим задачата, тъй като тук имаме времето, трябва да намерим пътя:



Сега вече можем да решим задачата:




ДА СЕ ПРЕВЪРНЕ В МЕТРИ ЗА СЕКУНДА!


СРЕДНА СКОРОСТ по преместване: В този случай скоростта е вектор, който се дефинира, като пресместването () за времето:





М




Фигура 10
акар наглед двете формули за средна скорост да си приличат,то втората има много съществени различия с първата. За да онагледим тази разлика, нека разгледаме движението на
топче, промушено с метална пръчка. Фигура 10 показва как изглежда такова движение. Имаме единствена ос Х, по която може да става движението. Ако топчето тръгне надясно, ще казваме че се е придвижило в положителна посока. Движението му пък наляво ще наречем отрицателно движение. Според дефиницията път е цялото изминато разстояние. Нека си представим, че топчето е тръгнало първо надясно, като се е преместило с 0,20 метра. После се е върнало до началното си положение и е продължило наляво 20 сантиметра. Общият изминат път е:


S = 0,20 + 0,20 + 0,20 = 0,60 [m].


Ако пълното движение е станало за 60 [sec], то скоростта ще бъде:




Тази скорост е винаги положителна.

За разлика от нея скоростта, пресметната чрез преместването, може да бъде положителна, нула и отрицателна! Нека се опитаме да пресметнем преместването от предишния пример: Първо имаме движението надясно т.е. +0,2 m. След това движение наляво т.е. -0,2 m. Накрая още веднъж движение в ляво т.е. -0,2 m. Тогава преместването е:


,


за същото време 60 секунди.

Тогава от дефиницията за векторната скорост получаваме:


Свързани:

Мерни единици. Превръщане. Вектори. Операции с вектори събиране, изваждане, умножение скаларно и векторно. Отправна координатна система. Радиус веркор iconМерни единици. Превръщане. Вектори. Операции с вектори събиране, изваждане, умножение скаларно и векторно
Мерни единици. Превръщане. Вектори. Операции с вектори – събиране, изваждане, умножение – скаларно и векторно
Мерни единици. Превръщане. Вектори. Операции с вектори събиране, изваждане, умножение скаларно и векторно. Отправна координатна система. Радиус веркор iconВектори. Операции с вектори събиране, изваждане, умножение скаларно и векторно. Кинематика в едно измерение: координатна система, средна скорост, моментна
Вектори. Операции с вектори – събиране, изваждане, умножение – скаларно и векторно. Кинематика в едно измерение: координатна система,...
Мерни единици. Превръщане. Вектори. Операции с вектори събиране, изваждане, умножение скаларно и векторно. Отправна координатна система. Радиус веркор iconЛинейна алгебра и аналитична геометрия (лааг)
Вектори – определения, операции с вектори, скаларно произведение и норма, абстрактно векторно пространство, линейни оператори, афинно...
Мерни единици. Превръщане. Вектори. Операции с вектори събиране, изваждане, умножение скаларно и векторно. Отправна координатна система. Радиус веркор iconСкаларно произведение на вектори Векторно произведение на вектори
Един вектор е нормализиран, когато дължината му е единица. Често е много удобно да се работи с нормализирани вектори, защото при...
Мерни единици. Превръщане. Вектори. Операции с вектори събиране, изваждане, умножение скаларно и векторно. Отправна координатна система. Радиус веркор iconКонспект по Математика VIII клас зп
Вектори. Средна отсечка 10. Определение. Видове вектори 11. Събиране на вектори
Мерни единици. Превръщане. Вектори. Операции с вектори събиране, изваждане, умножение скаларно и векторно. Отправна координатна система. Радиус веркор iconКонспект по механика 2009/2010 г
Предмет на кинематиката. Материална точка. Отправна система. Векторна алгебра. Радиус-вектор. Закон за движението. Трансформация...
Мерни единици. Превръщане. Вектори. Операции с вектори събиране, изваждане, умножение скаларно и векторно. Отправна координатна система. Радиус веркор iconЧислата до 10. Събиране и изваждане на числата до 10
Да се актуализират и затвърдят знанията на учениците за действията събиране и изваждане на числата до 10. Затвърдяват се уменията...
Мерни единици. Превръщане. Вектори. Операции с вектори събиране, изваждане, умножение скаларно и векторно. Отправна координатна система. Радиус веркор icon12 Пробвайте 01 Мерни единици
Понякога бъркам ляво и дясно. В един от тези случаи направих ляв завой вместо десен и така се озовахме в Канада. Нека да напишем...
Мерни единици. Превръщане. Вектори. Операции с вектори събиране, изваждане, умножение скаларно и векторно. Отправна координатна система. Радиус веркор iconExel, решенията изключително се опростяват и с комплексните числа се работи също както с реални числа. Единствената разлика е че се използват други команди за събиране, изваждане, умножение и деление. Комплексно число е израза =
Уравненията с комплексни числа са обемисти и работата с тях е трудоемка. Но ако се използва Exel, решенията изключително се опростяват...
Мерни единици. Превръщане. Вектори. Операции с вектори събиране, изваждане, умножение скаларно и векторно. Отправна координатна система. Радиус веркор iconКонспект по обща физика за студенти от специалност Биология- задочно обучение
Преместване. Траектория. Път. Средна скорост, моментна скорост, средно ускорение, моментно ускорение. Описание на движението в декартова...
Поставете бутон на вашия сайт:
Документация


Базата данни е защитена от авторски права ©bgconv.com 2012
прилага по отношение на администрацията
Документация
Дом