Вектори. Операции с вектори събиране, изваждане, умножение скаларно и векторно. Кинематика в едно измерение: координатна система, средна скорост, моментна




ИмеВектори. Операции с вектори събиране, изваждане, умножение скаларно и векторно. Кинематика в едно измерение: координатна система, средна скорост, моментна
Дата на преобразуване18.01.2013
Размер76.84 Kb.
ТипДокументация
източникhttp://web.uni-plovdiv.bg/stnikolov/Seminarni uprajnenia/Mehanika/Seminar_2.doc
Семинарно упражнение № 2


ВЕКТОРИ. ОПЕРАЦИИ С ВЕКТОРИ – СЪБИРАНЕ, ИЗВАЖДАНЕ, УМНОЖЕНИЕ – СКАЛАРНО И ВЕКТОРНО. КИНЕМАТИКА В ЕДНО ИЗМЕРЕНИЕ: КООРДИНАТНА СИСТЕМА, СРЕДНА СКОРОСТ, МОМЕНТНА СКОРОСТ, РАВНОУСКОРИТЕЛНО ДВИЖЕНИЕ


1. ВЕКТОРИ. ОПЕРАЦИИ С ВЕКТОРИ


ВЕКТОР – се нарича насочена отсечка (Фиг.1). Бележи се със стрелка над буквата: Дължината на вектора се бележи с (нарича се модул)

Фиг. 1


СВОЙСТВА:

  1. Два вектора са равни, когато имат еднакви дължини и еднакви посоки (без значение къде в пространството се намират) – Фиг.2

  2. Два вектора са противоположни, когато имат еднакви дължини и противоположни посоки: вектор е противоположен на вектор Фиг.3, което също значи, че



Фиг.2 Фиг.3


  1. Векторите могат да се сумират, като записваме: и казваме: вектор

е сума на векторите и - Фиг. 4 . Ако векторите се намират на произволно място в пространството, то следва вторият вектор да се пренесе така, че неговото начало да съвпада с края на първият вектор, както е показано на Фиг.4

Фиг. 4


СВОЙСТВА НА СУМИРАНЕТО:
А)
Б)

  1. Изваждане на вектори . Kазваме, че векторът е разликата на векторите и . Разликата можем да си я представим, като и следваме свойствата на събирането

  2. Произведение на вектори:
    А) Скаларно – нарича се така, защото резултатът от него НЕ Е ВЕКТОР, а число. Другата дума за число е СКАЛАР. Записва се: и резултат от това произведение е: , където  е ъгълът, които сключват двата вектора помежду си – Фиг.5
    Б) Векторно – резултатът от това произведение е също вектор: , Фиг. 6. Тук при изчисляването на големината на векторa се използват отново модулите на векторите, които умножаваме и , но умножение по Sinus на ъгълът между тях . Последният символ означава единичен вектор, който дава посоката на векторът . Така, че окончателният резултат на произведнието е вектор, които има големина, изчислена с помощта на големините на векторите и , умножени по синус от ъгълът между тях, а посоката се задава от вектор . Тази посока пък се определя от т.нар. правило на дясната ръка (Фиг. 7)


Фиг.5 Фиг.6


ПРАВИЛО НА ДЯСНАТА РЪКА: Поставяме дланта на дясната ръка по направление на вектоът , така че ако сгънем пръстите си те да се насочват към . Тогава палецът ни сочи направлението на т.е. и на векторът




Фиг. 7


СВОЙСТВА НА ВЕКТОРНОТО УМНОЖЕНИЕ:







Пример за прилагане на такова умножение е при изчисляване на обем V:





2. КИНЕМАТИКА В ЕДНО ИЗМЕРЕНИЕ


Кинематика - описва движението, без да се интересува от причините, които го пораждат

Постъпателно движение – движение без въртене – ако си представите, че се движите напред, то всяка ваша част извършва постъпателно движение.

Идеализирана частица – това е идеализиран случай, в който частицата (тялото) се разглежда, като математичестка точка т.е. няма размери и може да извършва само постъпателно движение. Реалните тела имат размери и могат да се въртят, но има редица случаи, в които въпреки това можем да ги разглеждаме, като частица.


СРЕДНА СКОРОСТ: В общ случай под средна скорост () разбираме общият изминат път (S), разделен на времето (t), което е било необходимо да изминем този път:



Пример 1:

Какво разстояние ще измине велосипедист за 4 часа, ако неговата средна скорост е 11,5 кm/h?

Решение: Тъй като знаем, че , то тогава за S получаваме:

или S = 11,5 . 4 = 46 km


Пример 2:

Един влак изминава половината път със скорост 40 km/h , а другата половина със скорост 80 km/h. Колко е неговата средна скорост?

Решение: Записваме познатата ни формула: , която показва, че по дефиниция средната скорост е равна на пътя, разделен на нужното за изминаването му време. Тогава за да решим задачата, тъй като имаме вече пътя, ни трябва да опеределим нужното време:



Сега вече можем да решим задачата:




ДА СЕ ПРЕВЪРНЕ В МЕТРИ ЗА СЕКУНДА!


Пример 3:

Влак изминава половината време със скорост 40 km/h , а другата половина със скорост 80 km/h. Колко е неговата средна скорост?

Решение: Записваме познатата ни формула: . За да решим задачата, тъй като тук имаме времето, трябва да намерим пътя:



Сега вече можем да решим задачата:




ДА СЕ ПРЕВЪРНЕ В МЕТРИ ЗА СЕКУНДА!


Отправна система – макар и да не го казахме гласно, ние имахме предвид в предните 3 примера, че скоростта на влаковете е мерена спрямо земята!!! Т.е. ние определихме, че нашата отправна система ще е някоя точка от земята и спрямо нея ще изследваме движението! Допълнително, дори без да се замислим, ние дадохме и времето, което е еднакво за нас и за птицата!




Във физиката и математиката отправната система представлява коодринатна система, снабдена с часовник!

Всяка отправна система трябва да има начало (т. 0) и указани положителните посоки на всяка от осите (със стрелка за положителната посока или със знак). Също така трябва да указани мерните единици, на всяка от осите!!!


Пример 4:

Нека човек е вървял на изток 50 км, после на север 5 км. Къде се намира той тогава?



Пример 5:

Ако ние стоим във влак, който се движи със скорост 15 km/h, а успоредно на влака лети птица, която ние виждаме, че се движи със скорост 5 кm/h, колко е скоростта и когато за отправна система използваме земята?

Решение: Тъй, като ние се движим в еднакви посоки, а нашата скорост спрямо земята е 15 km/h, следва да добавим скоростта на птицата спрямо влака 5 km/h, към нашата спрямо земята. Тогава отговорът е, че птицата лети със скорост 20 km/h спрямо земята.


СРЕДНА СКОРОСТ ПО ПРЕМЕСТВАНЕ: Тази скорост има освен големина и посока. В досегашните случаи ние разглеждахме скоростта само с помощта на изминатият път. Тук ще въведем величината преместване, като изменението на положението на тялото в координатната система (). Тогава скоростта, като вектор ще бъде: . В тази дефиниция за скоростта има една много съществена отлика с предният случай!!! Тук не е важен пътят, по който се е движило тялото, а само неговата начална и крайна точка. Което довежда до големи разлики при пресметнатите стойности на скоростта по двата метода.


Пример 6:

Кола се движи на изток в предължение на 6 km, със скорост 15 кm/h, след което тръгва да запад със скорост 5 кm/h и изминава 2 km. Колко е скоростта, пресметната чрез пътя и колко е тя, пресметната чрез преместването?




Решение: Съгласно Пример 2

за средната скорост, изчислена чрез пътя.

= 6 – 2 = 4 km e oбщото преместване.


t
Фиг. 9
=t1+ t2 =(S1/V1)+(S2/V2)=0,4 + 0,4 = 0,8 [h]



Тогава скоростта по преместване е: V=4/0,8=5 [km/h]


Пример 7:

Топка в момент от време t1=3 sec. се намира на разстояние r1=40,5 m от началото на координатната система, по оста Х. В един последващ момент от време t2=5,5 sec, топката продължава да се движи по оста Х, но е на разстояние r2=18,8 m. Да се намери скоростта по преместване!

Решение: Фиг.10

Знаем, че

Тогава трябва да намерим общото преместване, което е

r = -(40,5-18,8)=-21,7 m!!!

Забележете, че знакът е отрицателен, защото се движим в посока обратна на положителната на оста Х!!!

t = 5,5 – 3,0 = 2,5 sec

Tогава за скоростта получаваме:

V = -21,7 / 2,5 = - 8,68 m/s


Фиг. 10 От този пример се вижда, че скоростта, като

векторна величина може да бъде и ОТРИЦАТЕЛНА!


МОМЕНТНА СКОРОСТ

Ако кажем, че средната скорост, с която сме се движили е била 50 km/h, много малко вероятно е, ако разстоянието, което сме изминали е голямо, да сме се движили през цялото време само с тази скорост. Тогава има смисъл, ако описваме по-детайлно нашето движение да знаем в кой момент от време с каква точно скорост сме се движили! Именно в това описание ни помага величината МОМЕНТНА СКОРОСТ. Тя дава именно скоростта даден момент от време (което и показва скоростомера в автомобилите).

М



Фиг. 11
атематическата дефиниция за момента скорост е средната скорост за безкрайно малък интервал от време. За да разберем какво представлява това нека да разгледаме следната графика, която показва как се е променяла координатата Х с времето (това се нарича траектория на точката).

Ако имаме намерим скоростта по изменението на Х между точките Р1 и Р2, графически следва да измерим наклона на правата (Фиг.11), минаваща през тези две точки. Ако сега намалим интервала време и вземем този, между точките Р1 и Р3 ясно се вижда, че тук наклонът е по-малък. Ние можем да намаляваме този интервал между точките, докато той стане много много малък. Тогава средната скорост ще се определи от наклона на допирателната към траекторията. Това, записано в математичен вид е:




и последният израз се нарича ПРОИЗВОДНА на Х по времето.


По големина моментата скорост е равна на tg , където  е ъгълът, който сключва допирателната в точката със оста t.

Така, че намирайки допирателната в коя да е точка на траекторията, ще можем да намерим моментната скорост.

Тогава нека обощим: ако знаем във всеки един момент от време как се изменя положението на тялото, ще можем да опишем неговата траектория, като знаем неговата траектория, ще можем да определим и неговата скорост във всеки един момент от време. Тогава казваме, че знаем законът за движение на тялото.


Пример 9:

Нека е дадена зависимостта х(t), показана на фигурата отдолу. Да се направи анализ на движението на частицата!





Решение: Зависимостта в началото, до момент t = 20 sec e линейна с постоянен наклон. Следователно през това време наклонът на допирателната, която в този случай съвпада със самата траектория е константен. Следователно и скоростта на тялото в първите 20 секунди е постоянна. След това наклонът на допирателната намалява, спрямо първите 20 секудни, следователно скоростта намалява постепенно до около t = 37 sec. След това време, наклонът започва да се увеличава, следователно се увеличава и скоростта, до време t = 45 sec. След това отново намалява, достигайки 0 при t = 57 sec. След това, тъй като частицата започва да се връща към началото на оста Х, следва, че скоростта сменя знака си! Като скоростта по абсолютна стойност се увеличава, но всъщност, тъй като тя е отрицателна, означава, че намалява до време около t = 70 sec. Следва линеен участък, където скоростта ще е отрицателна по знак и с постоянна стойност до около t = 80 sec. След това скоростта постепенно достига 0.

Свързани:

Вектори. Операции с вектори събиране, изваждане, умножение скаларно и векторно. Кинематика в едно измерение: координатна система, средна скорост, моментна iconМерни единици. Превръщане. Вектори. Операции с вектори събиране, изваждане, умножение скаларно и векторно. Отправна координатна система. Радиус веркор
Мерни единици. Превръщане. Вектори. Операции с вектори – събиране, изваждане, умножение – скаларно и векторно. Отправна координатна...
Вектори. Операции с вектори събиране, изваждане, умножение скаларно и векторно. Кинематика в едно измерение: координатна система, средна скорост, моментна iconМерни единици. Превръщане. Вектори. Операции с вектори събиране, изваждане, умножение скаларно и векторно
Мерни единици. Превръщане. Вектори. Операции с вектори – събиране, изваждане, умножение – скаларно и векторно
Вектори. Операции с вектори събиране, изваждане, умножение скаларно и векторно. Кинематика в едно измерение: координатна система, средна скорост, моментна iconЛинейна алгебра и аналитична геометрия (лааг)
Вектори – определения, операции с вектори, скаларно произведение и норма, абстрактно векторно пространство, линейни оператори, афинно...
Вектори. Операции с вектори събиране, изваждане, умножение скаларно и векторно. Кинематика в едно измерение: координатна система, средна скорост, моментна iconСкаларно произведение на вектори Векторно произведение на вектори
Един вектор е нормализиран, когато дължината му е единица. Често е много удобно да се работи с нормализирани вектори, защото при...
Вектори. Операции с вектори събиране, изваждане, умножение скаларно и векторно. Кинематика в едно измерение: координатна система, средна скорост, моментна iconКонспект по Математика VIII клас зп
Вектори. Средна отсечка 10. Определение. Видове вектори 11. Събиране на вектори
Вектори. Операции с вектори събиране, изваждане, умножение скаларно и векторно. Кинематика в едно измерение: координатна система, средна скорост, моментна iconКонспект по обща физика за студенти от специалност Биология- задочно обучение
Преместване. Траектория. Път. Средна скорост, моментна скорост, средно ускорение, моментно ускорение. Описание на движението в декартова...
Вектори. Операции с вектори събиране, изваждане, умножение скаларно и векторно. Кинематика в едно измерение: координатна система, средна скорост, моментна iconЧислата до 10. Събиране и изваждане на числата до 10
Да се актуализират и затвърдят знанията на учениците за действията събиране и изваждане на числата до 10. Затвърдяват се уменията...
Вектори. Операции с вектори събиране, изваждане, умножение скаларно и векторно. Кинематика в едно измерение: координатна система, средна скорост, моментна iconКатедра "механика"
Предмет, основни понятия и задачи на кинематиката. Кинематика на точка. Закон на движение на точка векторно, координатно и естествено...
Вектори. Операции с вектори събиране, изваждане, умножение скаларно и векторно. Кинематика в едно измерение: координатна система, средна скорост, моментна iconExel, решенията изключително се опростяват и с комплексните числа се работи също както с реални числа. Единствената разлика е че се използват други команди за събиране, изваждане, умножение и деление. Комплексно число е израза =
Уравненията с комплексни числа са обемисти и работата с тях е трудоемка. Но ако се използва Exel, решенията изключително се опростяват...
Вектори. Операции с вектори събиране, изваждане, умножение скаларно и векторно. Кинематика в едно измерение: координатна система, средна скорост, моментна iconСъбиране и изваждане. Страна на триъгълник и правоъгълник
Да се решават подходящи задачи, с които се усъвършенстват уменията за събиране и изваждане без преминаване
Поставете бутон на вашия сайт:
Документация


Базата данни е защитена от авторски права ©bgconv.com 2012
прилага по отношение на администрацията
Документация
Дом