Список используемой литературы




ИмеСписок используемой литературы
Крюченкова В М
Дата на преобразуване13.12.2012
Размер174.25 Kb.
ТипРеферат
източникhttp://borsch31.narod.ru/Solnishkina.docx
Муниципальное общеобразовательное учреждение

Борисоглебская средняя общеобразовательная школа № 3


Всё, что я знаю о фракталах.


Выполнила ученица 9 «А»

Солнышкина Ирина

Руководитель: Крюченкова В.М.

учитель математики высшей категории


Борисоглебский городской округ

2011 год


СОДЕРЖАНИЕ

  1. Введение.

    1. История появление фрактальной математики.

    2. Актуальность темы

    3. Предмет изучения фракталов

    4. Классификация фракталов:

      1. Геометрические фракталы.

      2. Алгебраические фракталы.

      3. Стохастические фракталы.

    5. Природные фракталы

    6. Литературные

    7. Программируемые

  1. Список используемой литературы.

  2. Приложения.


Основатели фрактальной математики.

Математики пренебрегли вызовом и

предпочли бежать от природы путём изобретения

всевозможных теорий, которые никак не

объясняют того, что мы видим или ощущаем.

Бенуа Мандельброт


Бенуа Мандельброт (фр. Benoit Mandelbrot; род. 20 ноября 1924, Варшава) — французский математик.

Основатель и ведущий исследователь в области фрактальной геометрии. Лауреат премии Вольфа по физике (1993).бенуа

Бенуа Мaндельброт родился в Варшаве в 1924 году в семье литовских евреев. Но уже в 1936 году семья Бенуа Мандельброта эмигрировала во Францию, в Париж. В Париже он попал под влияние своего дяди Шолема Мандельбройта, известного парижского математика, члена группы математиков, известной под общим псевдонимом «Николя Бурбаки».

После начала войны Мандельброты бежали на свободный от оккупации юг Франции, в городок Тюль. Там Бенуа Мандельброт пошел в школу, но вскоре потерял интерес к учебе. Поэтому к шестнадцати годам он еле знал алфавит и таблицу умножения до пяти.

Но у Бенуа Мандельброта открылся необычный математический дар, который позволил ему сразу после войны стать студентом Сорбонны. Оказалось, что у Бенуа великолепное пространственное воображение. Он даже алгебраические задачи решал геометрическим способом. Оригинальность его решений позволила Бенуа Мандельброту поступить в университет.

Окончив университет, Бенуа Мандельброт сначала стал «чистым математиком». Он получил докторскую степень.

В 1958 он переехал в США, где приступил к работе в научно-исследовательском центре IBM в Йорктауне, поскольку IBM в то время занималась как раз интересными Бенуа Мандельброту областями математики.

Работая в IBM, Бенуа Мандельброт ушел далеко в сторону от чисто прикладных проблем компании. Он работал в области лингвистики, теории игр, экономики, аэронавтики, географии, физиологии, астрономии, физики. Ему нравилось именно переключаться с одной темы на другую, изучать различные направления.

Исследуя экономику, Бенуа Мандельброт обнаружил, что произвольные внешне колебания цены могут следовать скрытому математическому порядку во времени, который не описывается стандартными кривыми.

Бенуа Мандельброт занялся изучением статистики цен на хлопок за большой период времени (более ста лет). Колебания цен в течение дня казались случайными, но Мандельброт смог выяснить тенденцию их изменения. Он проследил симметрию в длительных колебаниях цены и колебаниях кратковременных. Это открытие оказалось неожиданностью для экономистов.

По сути, Бенуа Мандельброт применил для решения этой проблемы зачатки своего рекурсивного (фрактального) метода.


Вацлав Франциск Серпинский, в другой транскрипции — Серпинский (польск. Waclaw Franciszek Sierpinski); (14 марта 1882, Варшава, Польша — 21 октября 1969, Варшава) — выдающийся польский математик. Известен своими трудами по теории множеств, аксиоме выбора, континуум - гипотезе, теории чисел, теории функций, а также топологии. Автор более 700 статей и 50 книг. Его именем названы числа Серпинского, а также три широко известных фрактала: треугольник Серпинского, ковёр Серпинского, кривая Серпинского.


Классификация фракталов.

Если люди отказываются верить

в простоту математики,

то это только потому, что они

не понимают всю сложность жизни.

Джон фон Нейман


Рукотворные и природные. К рукотворным относятся те фракталы, которые были придуманы учёными, они при любом масштабе обладают фрактальными свойствами. На природные фракталы накладывается ограничение на область существования — то есть максимальный и минимальный размер, при которых у объекта наблюдаются фрактальные свойства.

Детерминированные (алгебраические и геометрические) и недетерминированные (стохастические).

Фракталы делятся на геометрические, алгебраические и стохастические.


Геометрические фракталы.

Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную - генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.


триадная кривая коха

Триадная кривая Коха


Рассмотрим один из таких фрактальных объектов - триадную кривую Коха. Построение кривой начинается с отрезка единичной длины - это 0-е поколение кривой Коха. Далее каждое звено (в нулевом поколении один отрезок) заменяется на образующий элемент, обозначенный на рис.1 через n=1. В результате такой замены получается следующее поколение кривой Коха. В 1-ом поколении - это кривая из четырех прямолинейных звеньев, каждое длиной по 1/3. Для получения 3-го поколения проделываются те же действия - каждое звено заменяется на уменьшенный образующий элемент. Итак, для получения каждого последующего поколения, все звенья предыдущего поколения необходимо заменить уменьшенным образующим элементом. Кривая n-го поколения при любом конечном n называется предфракталом. На рисунке представлены пять поколений кривой. При n стремящемся к бесконечности кривая Коха становится фрактальным обьектом.


построение дракона хартера-хейтуэя дракон хартера хентуэя

Построение "дракона" Хартера-Хейтуэя. Дракон Хартера-Хейтуэя


Для получения другого фрактального объекта нужно изменить правила построения. Пусть образующим элементом будут два равных отрезка, соединенных под прямым углом. В нулевом поколении заменим единичный отрезок на этот образующий элемент так, чтобы угол был сверху. Можно сказать, что при такой замене происходит смещение середины звена. При построении следующих поколений выполняется правило: самое первое слева звено заменяется на образующий элемент так, чтобы середина звена смещалась влево от направления движения, а при замене следующих звеньев, направления смещения середин отрезков должны чередоваться. На рисунке представлены несколько первых поколений и 11-е поколение кривой, построенной по вышеописанному принципу. Предельная фрактальная кривая (при n стремящемся к бесконечности) называется драконом Хартера-Хейтуэя.


Примерами кривых служат:

  • кривая дракона;

  • кривая Коха;

  • кривая Леви;

  • кривая Минковского;

  • кривая Пеано.


Кривая Минковского или колбаса Минковского — классический геометрический фрактал, предложенный Минковским. Инициатором является отрезок, а генератором является ломаная из восьми звеньев (два равных звена продолжают друг друга).

Свойства

  1. Кривая Минковского нигде не дифференцируема и не спрямляема.

  2. Кривая Минковского не имеет самопересечений.


К геометрическим фракталам также относят фракталы, получаемые похожими процедурами, например:

  • множество Кантора;

  • треугольник Серпинского;

  • ковер Серпинского;

  • кладбище Серпинского;

  • губка Менгера;

  • дерево Пифагора.


снежинка коха lvtree

Снежинка Коха Дерево Пифагора


Треугольник Серпинского — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора предложенный польским математиком Серпинским в 1915 году. Также известен как «решётка» или «салфетка» Серпинского.

построение

Треугольник Серпинского можно получить по следующему алгоритму:треугольник

  1. Взять три точки на плоскости, и нарисовать треугольник.

  2. Случайно выбрать любую точку внутри треугольника, и продвинуться на половину расстояния от этой точки к любой из трех вершин треугольника.

  3. Отметить текущую позицию.

  4. Повторить с шага 2.


Ковер Серпинского — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским. Также известен как квадрат Серпинского.квадрат серпинского

Построение

Берётся сплошной квадрат, разрезается на 9 равных квадратов и удаляется внутренность центрального квадрата. На втором шаге удаляется 8 центральных квадратов из 8 оставшихся квадратов и т. д. После бесконечного повторения этой процедуры, от сплошного квадрата остается замкнутое подмножество — ковёр Серпинского.


губка менгера Губка Менгера — геометрический фрактал, один из трёхмерных аналогов ковра Серпинского.

Построение

Куб K0 с ребром 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из куба K0 удаляются центральный куб и все прилежащие к нему по двумерным граням кубы этого подразделения. Получается множество K1, состоящее из 20 оставшихся замкнутых кубов «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из кубов первого ранга, получим множество K2, состоящее из 400 кубов второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность


Алгебраические фракталы.

Самоподобие в приложении к случайным

множествам — понятие не столь строгое

Бенуа Мандельброт


Алгебраические фракталы менее наглядные, зато их построение сводится к одной формуле, которой простой можно назвать с большой натяжкой. Но все алгебраические фракталы можно рассмотреть на классическом примере – множестве Мандельброта.


множество мандельбротаучасток границы множества мандельброта, увеличенный в 200 pаз

Множество Мандельброта Граница, увеличенная в 200 раз


Наиболее изучен двухмерный случай. Нелинейные динамические системы могут обладать несколькими устойчивыми состояниями. Каждое устойчивое состояние (аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, при которых система обязательно в него перейдёт. Таким образом, фазовое пространство разбивается на области притяжения аттракторов.

Если фазовым является двухмерное пространство, то, окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.

Алгоритм построения достаточно прост и основан на итеративном выражении:

zi + 1 = F(z), где F(z) — какая-либо функция комплексной переменной.

Также можно изменить вид фрактала, если вести контроль значения z, например:

  • Действительная часть z меньше определённого числа;

  • Мнимая часть z меньше определённого числа;

  • И мнимая и действительная части z меньше какого-либо числа;

  • Другие способы.



И, наконец, ещё один интересный эффект — изменение палитры. После того, как изображение построено, можно циклически изменять цвета закрашенных областей, и тогда и без того удивительное изображение «оживёт» на экране.


множество мандельброта


Примеры алгебраических фракталов:

  • множество Мандельброта;

  • множество Жюлиа;

  • бассейны Ньютона;


Стохастические фракталы.

Математика — наиболее совершенный

способ водить самого себя за нос.

Альберт Эйнштейн


Кривая Коха, как бы ни была похожа на границу берега, не может выступать в качестве её модели из-за того, что она всюду одинакова, самоподобна, слишком «правильна». Все природные объекты создаются по капризу природы, в этом процессе всегда есть случайность. Фракталы, при построении которых в итеративной системе случайным образом изменяются какие-либо параметры, называются стохастическими. К этому классу фракталов относится и фрактальная монотипия, или стохатипия. Термин «стохастичность» происходит от греческого слова, обозначающего «предположение».


плазма

Плазма

Стохастические фракталы получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д.

Рекурсивный алгоритм для построения плазмы следующий

  1. Присвоить значение оттенка для 4х углов прямоугольника.

  2. Высчитать средние значения оттенков для середин сторон и центра используя среднее арифметическое.

  3. Случайно изменить центральный оттенок. Величина изменения должна зависеть от размеров прямоугольника.

  4. Разделить прямоугольник на 4 равные части, в углах которых будут полученные средние значения.


Также существуют рандомизированные фракталы (от англ. random – случайный) Рандомизованный фрактал строится по обычному алгоритму, за исключением того, что при вычислении на каждой итерации добавляются случайные величины.


Фракталы в литературе: в поисках утраченного оригинала

В настоящей работе мы будем рассматривать литературные тексты, которые, в том или ином смысле, обладают фрактальной природой. Поясним сначала, что собственно представляют собой фракталы.

Термин фрактал появился в 1977 году, с выходом в свет году книги Б.Мандельброта «Фрактальная геометрия природы».  Слово фрактал имеет латинский корень fractus — состоящий из частей, фрагментов. Мандельброт определил фракталы как «структуры, состоящие из частей, которые в каком-то смысле подобны целому»1[1] Федер Е. Фракталы. Пер. с англ. — М.: Мир, 1991.. Фракталы быстро стали популярны, не в последнюю очередь благодаря красочным компьютерным иллюстрациям Мандельброта. 

Внимательное изучение фракталов привело к пониманию, что они существовали и были известны ученым (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф) и до Мандельброта, и заслуга последнего состояла скорее в привлечении внимания к этим структурам и указании на чрезвычайно широкое распространение фрактальных объектов в нашем мире.

Из рукотворных, математических кварталов известны кривая или снежинка Хельги фон Коха, треугольник или решето Серпинского, и другие, строящиеся с помощью некоторого алгоритма, примененного к кривой или поверхности.


снежинка коха


Для таких кривых часть рисунка n-ной итерации будет в точности тождественна части (n-1)-ой итерации большего размера.


построение кривой коха


Фракталы Мандельброта, представляющие собой изображение в фазовом пространстве областей притяжения к различным аттракторам, при увеличении масштаба изображения не копируют в точности целое изображение, а воссоздают его подобие.

треугольник серпинскогоДля таких объектов свойство фрактальности, то есть схожести структур целого фазового пространства и его части, повторяется бесконечное количество раз — при увеличении масштаба элемент исходной картинки аналогичен всему объекту, элемент этого элемента при увеличении также аналогичен его предшественнику, и так далее.

 

И эти сложные математические объекты, создание которых невозможно без помощи компьютера, привлекают неизменный интерес людей, чрезвычайно от математики далеких, привлекают своей завораживающей и повторяющейся красотой, подобной очарованию сменяющих друг друга картинок в детском калейдоскопе. Последовательные сходных изображений погружают зрителя в волшебный ирреальный мир, кружат голову идеей бесконечного повторения, тождества и подобия — в масштабе, пространстве и времени.

ветвящееся деревоЗаметим, что в действительности требуется не так много итераций, чтобы объект воспринимался как фрактальный. Стремящийся к большим и бесконечно большим числам человеческий разум в реальности вполне удовлетворяется числом итераций, лежащим где-то между психологическими константами три и семь. Снежинка Коха на нашем рисунке представлена пятью приближениями, у дерева можно обнаружить семь развилок, что уже убеждает зрителя во фрактальности объекта. Рассматривание последовательности увеличивающихся масштабов фракталов Мандельброта на компьютере, требующее от наблюдателя только нажатия кнопки мыши, обычно не идет дальше трех-пяти приближений, после чего внимание переключается на другую картинку. Большие усложнения могут вызвать, видимо, только скуку, головную боль или, у самых настойчивых исследователей, психические проблемы.

А что же подлинная бесконечность, подлинное и совершенное знание? Видимо, она лежит за пределами человеческого восприятия. Как утверждал писатель XVII века Марин Мерсенн в «Quaestiones super Genesim», «наличие у человека чувства бесконечности уже является доказательством бытия Бога»2[2] цит. по Eco, Umberto. The Search for the Perfect Language. Blackwell Publishers Inc. 1995. Р.142.. Но стремление человека к бесконечному, принципиально недостижимому, есть одна из важнейших его особенностей.

После того, как термин «фрактал» был введен, стало понятно, что множество природных объектов обладают фрактальным строением — это и ветки деревьев, повторяющие более крупные ветви, повторяющие ствол, и снежинки, и кровеносные пути и нервы, разветвляющиеся на более мелкие пути, которые ветвятся на еще более мелкие, и карта мозговых полушарий, да и любая карта, при увеличении масштаба превращающаяся в иную карту, фрагмент которой при следующем увеличении есть еще одна схожая карта, и т.д.

Некоторые произведения искусства, в том числе литературы, также могут быть расмотрены как фракталы, вспомним хотя бы мечту о Книге книг — книге, состоящей из иных книг, — если это и не фрактал, то первая к нему итерация.

Попытаемся сформулировать, как можно соотнести фракталы с произведениями литературы. Мы будем рассматривать фрактал исключительно как произведение искусства, оставляя за рамками нашего исследования определяющие математические формулы. Тогда характерными чертами фрактала будут следующие: 1) часть его неким образом подобна целому (в идеале эта последовательность подобий распространяется на бесконечность, хотя никто никогда не видел действительно бесконечной последовательности фрактальных итераций); 2) его восприятие происходит по последовательности вложенных уровней.

Пытаясь определить литературные фракталы, мы встречаемся с некоторыми принципиальными трудностями: во-первых, литературный текст, по сравнению с произведением визуального искусства, линеен, существует направление его прочтения от начала до конца. Впрочем, с этой особенностью текста успешно справляются как создатели палиндромов, закручивающих текст в двустороннее обращаемое кольцо, так и создатели интерактивной литературы, предлагающие читателю произвольно или по некоторому закону изменять порядок прочтения фрагментов текста.

Еще одной особенностью текста является его конечность. Эта особенность свойственна и визуальным работам, и именно фракталы вывели визуальные произведения за рамки формальной конечности.

Как же можно создать бесконечный текст? Этим вопросом задавался герой рассказа Х.Л.Борхеса «Сад расходящихся тропок»: «:я спрашивал себя, как может книга быть бесконечной. В голову не приходит ничего, кроме цикличного, идущего по кругу тома, тома, в котором последняя страница повторяет первую, что и позволяет ему продолжаться сколько угодно»3[3] Борхес Х.Л. Сочинения в 3-х т. Рига: Полярис, 1994. Т.1. С.326..

Посмотрим, какие еще решения могут существовать.

Бесконечные повторяющиеся тексты и их модификации

Самыми простым бесконечным текстом будет текст из бесконечного количества дублирующихся элементов, или куплетов, повторяющейся частью которого является его «хвост» — тот же текст с любым количеством отброшенных начальных куплетов. Схематически такой текст можно изобразить в виде неразветвляющегося дерева или периодической последовательности повторяющихся куплетов. Единица текста — фраза, строфа или рассказ — начинается, развивается и заканчивается, возвращаясь в исходную точку, точку перехода к следующей единице текста, повторяющей исходную. Видно, что отсечение «головы» — любого количества начальных единиц, ничего не изменит, и «хвост» будет в точности совпадать с целым текстом.

Неразветвляющееся бесконечное дерево тождественно самому себе с любого шага.


http://textonly.ru/i/fractal/fig5.gif


Среди таких бесконечных произведений — стихи для детей или народные песенки, как, например, стишок о попе и его собаке из русской народной поэзии, или стихотворение М.Яснова «Чучело-мяучело», повествующее о котенке, который поет о котенке, который поет о котенке:


У попа была собака, он ее любил.

Она съела кусок мяса, он ее убил.

В землю закопал,

Надпись написал,

Что

У попа была собака…


Вот море,

А на море сyша,

А на сyше пальма,

А на пальме клоп сидит

И видит море,

А на море сyша…


Чучело-мяучело

На трубе сидело.

Чучело-мяучело

Песенку запело.

Чучело-мяучело

С пастью красной-красной —

Всех оно замучило

Песенкой ужасной.

Всем кругом от чучела

Горестно и тошно,

Потому что песенка

У него про то, что:

Чучело-мяучело

На трубе сидело:


Или самое короткое:


У попа был двор,

На дворе был кол,

На колу мочало —

Не начать ли сказочку сначала?…

У попа был двор…

В отличие от бесконечных куплетов, фрагменты фракталов Мандельброта все же не тождественны, а подобны друг другу, и это качество и придает им завораживающее очарование. Поэтому в изучении литературных фракталов встает задача поиска подобности, сходства (а не тождественности) элементов текста.

В случае бесконечных куплетов замена тождества на подобие была осуществлена двумя способами: 1) созданием стихов с вариациями и 2) «бесконечных» стихов с конечной последовательностью куплетов.

Структурные фракталы

Существуют тексты, в которых фрактальная природа проявляется не в последовательности фрагментов текстов, но в их структуре. К таким произведениям можно отнести сложные стихотворные циклы, состоящие из стихотворений твердых форм, как то венки сонетов. Если сонет — стихотворение с заданным числом слогов в стихе, заданной схемой рифм и ритма, с небольшими различиями для традиционных французских, итальянских и английских сонетов, то венок сонетов представляет собой цикл из четырнадцати сонетов, связанных крайними строками — последняя строка первого сонета является первой строкой второго сонета венка, последняя строка второго сонета — первой строкой третьего сонета, и т.д., а все четырнадцать крайних строк образуют еще один, магистральный сонет, в котором и заключен общий замысел всего цикла.

Сонеты и, почти одновременно, сонетов были появились на свет в конце XIII века. В этот период человек глубоко верил в гармоничность и «правильность» мира, несмотря и даже включая его жестокость. В представлении средневекового мыслящего поэта весь мир являлся отражением Божественной сущности, и в различных своих проявлениях — отражением других своих отдельных проявлений и отражений. Каждая истина вещала об одной и той же главной и непогрешимой истине, а вся культура целиком представляла собой единое целое из гармонически организованных объектов.

Сквозь средневековый текст, пишет П.Зюмтор, «ощущается стоящее за ним требование рациональности, стремление к порядку, заданному разумом, потребность в единой концепции мира». И далее: средневековый текст проникнут «глубочайшим оптимизмом, верой в определенную самодостаточность человека и его слова, в природу, сильную поддержкой Бога… это неистощимая игра зеркальных отражений, где, однако, не может произойти ничего абсолютно непредвиденного»4[4] Зюмтор П. Опыт построения средневековой поэтики. — СПб: Алетейя, 2003. С.31—32..

И венок сонетов является совершенной, циклической и симметричной структурой без нарушений порядка.


схема венка сонетов


В венке сонетов, остоящем из 14 + 1 = 15 сонетов, осуществляется первая итерация увеличения сложности стихотворения. Осуществим следующую итерацию — пусть теперь каждый сонет из венка сонетов будет магистральным для своего, второго порядка, венка сонетов, а все 14*14 + 14 + 1 = 211 сонетов образуют венок венков сонетов. Эта конструкция настолько сложна, что она не имеет однозначного названия — различные исследователи именуют ее и венком в квадрате, и кружевом, и короной сонетов. На ней уже явно видна фрактальная природа такого цикла.

Выводы:

  1. Исследуя фракталы, мы приходим к выводу, что математика развивается и активно взаимодействует с другими науками. Другие науки также оказывают влияние на математику.

  2. Итак, из определения стохастических фракталов следует, что моя гипотеза доказана: все создаваемые нами графические объекты (буквы, цифры, иероглифы, геометрические фигуры, рисунки) являются фракталами, которые можно задать уравнениями, пусть даже и очень сложными. Таким образом, решена одна из целей моей работы – создание фрактала.

  3. Фракталы – ещё не до конца изученная область математики.пирамида серпинскогоf149jul1bigcarptbig



ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

 1. С. К.Абачиев Концепция современного естествознания. Балашиха - 1998.

2. Р. Баас, М. Фервай, Х. Гюнтер Delphi 5: для пользователей :пер. с нем. - Издательская группа BHV, 2000г.

3. Г. П. Яковлев, В. А. Челомбитько Ботаника. М. 1990г. 

  1. Википедия – свободная энциклопедия.

Викицитатник – свободная энциклопедия

  1. Забарянский С.Ф. Фрактальное сжатие изображений. - Компьютеры + программы. 1997. No.6(39).

Свързани:

Список используемой литературы iconСписок используемой литературы
Вавилоне (VII в до н э.), за ним по одному в столетие храм Артемиды в Эфесе (VI в. До н э.), статуя Зевса в Олимпии ( V в до н э....
Список используемой литературы iconПравила оформления списка литературы
Такой список помещается за текстом, связан с конкретными местами текста при помощи так называемых отсылок и обычно имеет простую...
Список используемой литературы iconСписок используемой литературы амиргамзаева О. А, Усова Ю. В. Самые знаменитые мастера балета России. М., Вече, 2002. Аркина Н. Е. Балет и литература. М., Знание, 1987
Амиргамзаева О. А, Усова Ю. В. Самые знаменитые мастера балета России. М., Вече, 2002
Список используемой литературы iconПредисловие, как обычно, пишется после выполнения всей работы. Хочется сделать его обзорным, философски обоснованным, исторически доказательным, достаточно
Нужно перерыть гору литературы, составить свой словарь ссылок, подготовить список подходящих греческих или латинских изречений, зафиксировать...
Список используемой литературы iconСписок рекомендованной литературы по дисциплине «Агролесомелиорация с основами лесоводства» Основная литература
Список рекомендованной литературы по дисциплине «Агролесомелиорация с основами лесоводства»
Список используемой литературы iconКурс «история русской литературы» Разделы учебной дисциплины
Общая характеристика русской литературы, её гуманистический пафос, художественные поиски жизнеутверждающих идеалов, высоких духовных...
Список используемой литературы iconСписок литературы
О. В. Константинов, В. И. Перель. Уточнение кинетических коэффициентов плазмы. // Жэтф, 1961, 41, №4(10), 1328-1329
Список используемой литературы iconСписок источников и литературы
Аграрная политика советской власти (1917 – 1918). Документы и материалы. М.: Изд-во ан ссср, 1954
Список используемой литературы iconСписок литературы для чтения в летний период. 8 класс
«Повесть о житии и о храбрости благородного и великого князя Александра Невского»
Список используемой литературы iconСписок использованных источников и литературы
Библия. Книги Священного Писания Ветхого и Нового Завета. М.: Московская Патриархия, 1990. 1376 с
Поставете бутон на вашия сайт:
Документация


Базата данни е защитена от авторски права ©bgconv.com 2012
прилага по отношение на администрацията
Документация
Дом